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06/03/2016

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Tabla de ecuaciones resueltas

(Ecuaciones ejercicios) En esta entrada del blog, iremos añadiendo ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con denominadores resueltas paso a paso. Nivel 1º y 2º de ESO. Pulsa en la ecuación para ir a la solución y su explicación paso a paso.

Ejercicio 1 \displaystyle 1-\frac{2x}{7}=x-2\left(x-\frac{1}{3}\right)
Ejercicio 2 \displaystyle  \frac{1}{2}\cdot{}\left(2x-3\right)+1=\frac{1}{3}\cdot{}\left(x-5\right)-x
Ejercicio 3 \displaystyle  11x-5\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-1
Ejercicio 4 \displaystyle  2\left(\frac{4x}{9}-\frac{7}{6}\right)+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}
Ejercicio 5 \displaystyle  28+x=\frac{5}{9}\left(60+x\right)\
Ejercicio 6 \displaystyle  \frac{1}{2} x+8 = x + 10
Ejercicio 7 \displaystyle  4\cdot \left (\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}  \right ) = -\frac{2}{9}\cdot\left ( x-\frac{1}{2} \right )
Ejercicio 8 \displaystyle  - \left (2x - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\cdot\left ( x-2\right )
Ejercicio 9 \displaystyle  \frac{2 \cdot (3x-1)}{3}+\frac{5x-6}{6} = \frac{138}{9}
Ejercicio 10 \displaystyle  7x+8 \cdot \left (x+\frac{1}{4} \right) =3 \cdot (6x-9)-9
Ejercicio 11 \displaystyle \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6}  \right ) = \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5}  \right )
Ejercicio 12 \displaystyle \frac{1}{3} \cdot (x-6) = \frac{1}{5}
Ejercicio 13 \displaystyle \frac{x+2}{2}-3(x+1)=\frac{-5x}{2}-2
Ejercicio 14 \displaystyle \frac{3(x+1)}{2} - x = \frac{x-4}{3}
Ejercicio 15 \displaystyle 3x-\frac{x-2}{2}=2\cdot \left (2+\left (\frac{x}{4} \right ) \right )
Ejercicio 16 \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{x}{3} - \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{3} \right )
Ejercicio 17 \displaystyle \frac{2}{3} \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} \right )=\frac{2}{3}\left ( \frac{2}{4}y-\frac{3}{5} \right )
Ejercicio 18 \displaystyle 3\cdot (x-5) = \frac{2x}{4} + \frac{3\cdot (1-2x)}{6}
Ejercicio 19 \displaystyle \frac{5}{3} \cdot \left (3x-\frac{1}{4} \right ) = - \frac{1}{3} \cdot \left (3x+\frac{2}{5} \right )
Ejercicio 20 \displaystyle \frac{2}{x-5} + \frac{1}{3} = 5
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Si después de hacer todas estas ecuaciones tienes ganas de más, te ofrecemos también esta entrada de Matesfáciles con más ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores tomadas del libro de Matemáticas de SM Savia para 1º de ESO.

Ecuaciones ejercicios de ecuaciones de primer grado: Soluciones paso a paso

Ejercicio ecuación 1

\displaystyle 1-\frac{2x}{7}=x-2\left(x-\frac{1}{3}\right)
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

\displaystyle  1-\frac{2x}{7}=x-2x+\frac{2}{3}

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  1-\frac{2x}{7}=-x+\frac{2}{3}

\displaystyle  \frac{1}{1}-\frac{2x}{7}=-\frac{x}{1}+\frac{2}{3}

Multiplicamos la ecuación por 21 que es el mcm de los denominadores.

\displaystyle  \frac{21\cdot{}1}{1}-\frac{21\cdot{}2x}{7}=-\frac{21\cdot{}x}{1}+\frac{21\cdot{}2}{3}

Simplificamos

\displaystyle  21-6x=-21x+14

Restamos 21

\displaystyle  -6x=-21x-7

Sumamos 21x

\displaystyle  15x=-7

Aplicamos la regla de producto dividiento entre 15.

\displaystyle  x=-\frac{7}{15}

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicio ecuación 2

\displaystyle  \frac{1}{2}\cdot{}\left(2x-3\right)+1=\frac{1}{3}\cdot{}\left(x-5\right)-x

Multiplicamos las fracciones por los paréntesis

\displaystyle  \frac{2x-3}{2}+1=\frac{x-5}{3}-x

\displaystyle  \frac{2x-3}{2}+\frac{1}{1}=\frac{x-5}{3}-\frac{x}{1}

Calculamos el mcm de los denominadores que es 6 y multiplicamos la ecuación por 6

\displaystyle  \frac{6\cdot{}(2x-3)}{2}+\frac{6\cdot{}1}{1}=\frac{6\cdot{}(x-5)}{3}-\frac{6\cdot{}x}{1}

Simplificamos

\displaystyle  3\left(2x-3\right)+6=2\left(x-5\right)-6x

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido haciendo la propiedad distributiva.

\displaystyle  6x-9+6=2x-10-6x

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  6x-3=-4x-10

Regla de la suma: sumamos +3

\displaystyle  6x=-4x-7

Regla de la suma: sumamos 4x

\displaystyle  10x=-7

Regla del producto: dividimos entre 10

\displaystyle  x=-\frac{7}{10}

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicio ecuación 3

\displaystyle  11x-5\left(2x+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{5}\left(x-\frac{1}{2}\right)-1

Quitamos paréntesis con la propiedad distributiva

\displaystyle  11x-10x-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-1

\displaystyle  \frac{11x}{1}-\frac{10x}{1}-\frac{5}{2}=\frac{3x}{5}-\frac{3}{10}-\frac{1}{1}

Multiplicamos la ecuación por 10 que es el mcm de los denominadores

\displaystyle  \frac{10\cdot{}11x}{1}-\frac{10\cdot{}10x}{1}-\frac{10\cdot{}5}{2}=\frac{10\cdot{}3x}{5}-\frac{10\cdot{}3}{10}-\frac{10\cdot{}1}{1}

Simplificamos

\displaystyle  110x-100x-25=6x-3-10

Simplificamos términos semejantes

\displaystyle  10x-25=6x-13

Regla de la suma: sumamos +25

\displaystyle  10x=6x+12

Regla de la suma: sumamos -6x

\displaystyle  4x=12

Regla del producto: dividimos entre 4

\displaystyle  \frac{4x}{4}=\frac{12}{4}

\displaystyle  x=3

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicio ecuación 4

\displaystyle  2\left(\frac{4x}{9}-\frac{7}{6}\right)+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}

Quitamos el paréntesis con la propiedad distributiva

\displaystyle  \frac{8x}{9}-\frac{14}{6}+\frac{2x}{3}=1-\frac{2x}{3}

Simplificamos la segunda fracción

\displaystyle  \frac{8x}{9}-\frac{7}{3}+\frac{2x}{3}=\frac{1}{1}-\frac{2x}{3}

Multiplicamos la ecuación por 9 que es el mcm de los denominadores

\displaystyle  \frac{9\cdot{}8x}{9}-\frac{9\cdot{}7}{3}+\frac{9\cdot{}2x}{3}=\frac{9\cdot{}1}{1}-\frac{9\cdot{}2x}{3}

Simplificamos las fracciones

\displaystyle  8x-21+6x=9-6x

Simplificamos términos semajantes

\displaystyle  14x-21=9-6x

Regla de la suma: sumamos +21

\displaystyle  14x=30-6x

Regla de la suma: sumamos +6x

\displaystyle  20x=30

Regla del producto: dividimos entre 20

\displaystyle  x=\frac{30}{20}

Simplificamos el resultado

\displaystyle  x=\frac{3}{2}





Ejercicio ecuación 5

\displaystyle  28+x=\frac{5}{9}\left(60+x\right)\

Multiplicamos la fracción por el paréntesis

\displaystyle  28+x=\frac{5\cdot{}\left(60+x\right)}{9}

Quitamos el paréntesis del denominador con la propiedad distributiva

\displaystyle  28+x=\frac{300+5x}{9}

\displaystyle  \frac{28+x}{1}=\frac{300+5x}{9}

Calculamos el mcm de los denominadores (9) y multiplicamos la ecuación por ese número gracias a la regla del producto.

\displaystyle  \frac{9\cdot{}\left(28+x\right)}{1}=\frac{9\cdot{}\left(300+5x\right)}{9}

Simplificamos las fracciones

\displaystyle  9\cdot{}\left(28+x\right)=\left(300+5x\right)

Quitamos los nuevos paréntesis que nos han aparecido.

\displaystyle  252+9x=300+5x

Regla de la suma: sumamos -252

\displaystyle  9x=48+5x

Regla de la suma: sumamos -5x

\displaystyle  4x=48

Regla del producto: dividimos entre 4

\displaystyle  \frac{4x}{4}=\frac{48}{4}

\displaystyle  x=12

Ejercicio ecuación 6

\displaystyle  \frac{1}{2} \cdot x+8 = x + 10

Multiplicamos la ecuación por 2 para quitar los denominadores.

\displaystyle  x+ 16 = 2x + 20

Regla de la suma: restamos 16 para quitar el término independiente del miembro de la izquierda.

\displaystyle  x = 2x + 4

Regla de la suma: restamos 2x para quitar el término dependiente  del miembro de la derecha.

\displaystyle  -x = 4

Regla del producto: dividimos entre el coeficiente de la incógnita x que es -1

\displaystyle  x = -4

Ejercicio ecuación 7

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado
\displaystyle  4\cdot \left (\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}  \right ) = -\frac{2}{9}\cdot\left ( x-\frac{1}{2} \right )

Quitamos los paréntesis multiplicando los factores con la propiedad distributiva.

\displaystyle    \frac{4x}{3} - \frac{12}{4}  = -\frac{2x}{9} + \frac{2}{18}

Y simplificamos:

\displaystyle    \frac{4x}{3} - 3  = -\frac{2x}{9} + \frac{1}{9}

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 9:

\displaystyle    \frac{9\cdot4x}{3} - \frac{9\cdot3}{1}  = -\frac{9\cdot2x}{9} + \frac{9\cdot1}{9}

Y volvemos a simplificar:

\displaystyle    12x - 27  = -2x + 1

Esta expresión no se puede simplificar, por lo que seguimos adelante. Ahora usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 27:

\displaystyle    12x   = -2x + 28

Ahora sumamos 2x

\displaystyle    14x   = 28

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre 14:

\displaystyle    x   = 2

Ejercicio ecuación 8

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado \displaystyle  - \left (2x - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2}x= \frac{7}{4}\cdot\left ( x-2\right )

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda cambiando de signo los términos que hay dentro de él y el del miembro de la derecha mediante la propiedad distributiva:

\displaystyle  -2x + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x = \frac{7}{4}\cdot x - \frac{7}{4}\cdot 2

Y simplificamos:

\displaystyle    -2x + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} - \frac{7\cdot 2}{4}

\displaystyle    \frac{-2x}{1} + \frac{1}{4} + \frac{x}{2} = \frac{7x}{4} - \frac{7}{2}

Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 4:

\displaystyle    \frac{4\cdot(-2x)}{1} + \frac{4\cdot1}{4} + \frac{4\cdot x}{2} = \frac{4\cdot7x}{4} - \frac{4\cdot7}{2}

Y volvemos a simplificar:

\displaystyle    -8x + 1 + 2x = 7x - 14

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    -6x + 1 = 7x - 14

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 1 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle    -6x  = 7x - 15

Ahora restamos 7x

\displaystyle    -13x   = -15

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -13:

\displaystyle    \frac{-13x}{-13}   = \frac{-15}{-13}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   = \frac{15}{13}
Ejercicios resueltos de ecuaciones

Ejercicio ecuación 9

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{2 \cdot (3x-1)}{3}+\frac{5x-6}{6}= \frac{138}{9}

Quitamos los paréntesis del miembro de la izquierda con la propiedad distributiva y simplificamos la fracción del miembro de la derecha:
\displaystyle  \frac{6x-2}{3}+\frac{5x-6}{6} = \frac{46}{3}
Quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por el mcm de los denominadores que es 6:

\displaystyle    \frac{6 \cdot (6x-2)}{3}+\frac{6 \cdot(5x-6)}{6} = \frac{6 \cdot 46}{3}

Y volvemos a simplificar las fracciones:

\displaystyle    2 \cdot (6x-2) + (5x-6) = 2 \cdot 46

Y, de nuevo, quitamos los paréntesis que nos han aparecido:

\displaystyle    12x-4 + 5x-6 = 92

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    17x - 10  = 92

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 10 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle    17x = 102

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 17:

\displaystyle    \frac{17x}{17}   = \frac{102}{17}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   =  6





Ejercicio ecuación 10

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado \displaystyle  7x+8 \cdot \left (x+\frac{1}{4} \right) =3 \cdot (6x-9)-9

Quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

\displaystyle  7x+8x +\frac{8}{4} =18x-27-9
Quitamos los denominadores simplificando la única fracción que tenemos, ya que la división sale exacta:

\displaystyle    7x+8x +2 = 18x-27-9

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle    15x + 2 =18x-36

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 2 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  15x + 2 -2 = 18x - 36 - 2

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle    15x = 18x-38

Ahora, para quitar el 18x, vamos a restar 18x en los dos miembros
\displaystyle    15x -18x = 18x-38 - 18x

\displaystyle    -3x = -38

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es -3:

\displaystyle    \frac{-3x}{-3} = \frac{-38}{-3}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   =  \frac{38}{3}

Ejercicio ecuación 11

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado \displaystyle  \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} \right ) = \frac{2}{3} \cdot \left (\frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5} \right )
Como los dos miembros de la ecuación están multiplicados por \displaystyle \frac{2}{3} podemos quitar dicho factor en los dos miembros de la ecuación. Y, por ende, los paréntesis no son necesarios.

\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{3}{6} = \frac{2}{4} \cdot y - \frac{3}{5}
Simplicamos las fracciones que no son irreducibles:
\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot y - \frac{3}{5}

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 10:

\displaystyle  \frac{10 \cdot 4}{5}y+\frac{10 \cdot 1}{2} = \frac{10 \cdot 1}{2} \cdot y - \frac{10 \cdot 3}{5}
Y simplificamos:
\displaystyle  8y+5 = 5y - 6

En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 5 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  8y+5-5 = 5y - 6 - 5
y simplificando términos semejantes:
\displaystyle  8y = 5y - 11

Ahora, para quitar el 5y, vamos a restar 5y en los dos miembros
\displaystyle    8y - 5y = 5y - 11 - 5y

\displaystyle    3y = -11

En el quinto paso, usamos la regla del producto para despejar la incógnita. Dividimos entre el coeficiente de la x, que es 3:

\displaystyle    \frac{3y}{3} = \frac{-11}{3}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   = - \frac{11}{3}

Ejercicio resuelto ecuación 12

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado \displaystyle  \frac{1}{3} \cdot (x-6) = \frac{1}{5}

Multipliamos, en primer lugar, la fracción por el paréntesis:

\displaystyle  \frac{(x-6)}{3} = \frac{1}{5}
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 15:

\displaystyle  \frac{15 \cdot (x-6)}{3} = \frac{15 \cdot 1}{5}
Y simplificamos:
\displaystyle  5 \cdot (x - 6) = 3
Como hemos obtenido paréntesis de nuevo, los quitamos, esta vez, mediante la propiedad distributiva:
\displaystyle  5x - 30 = 3

En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 30 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  5x - 30 + 30 = 3 + 30
y simplificando términos semejantes:
\displaystyle  5x = 33

Ahora, para quitar el 5 que multiplica a la incógnita, vamos dividir en los miembros entre 5
\displaystyle    \frac{5x}{5} = \frac{33}{5}

Y simplificando obtenemos el resultado de esta ecuación de primer grado.

\displaystyle    x   = \frac{33}{5}

Ejercicio resuelto ecuación 13

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado \displaystyle  \frac{x+2}{2}-3(x+1)=\frac{-5x}{2}-2

En el paso 1, quitamos los paréntesis multiplicando -3 por cada uno de los dos términos que hay dentro del paréntesis.
\displaystyle  \frac{x+2}{2}-3x-3=\frac{-5x}{2}-2
Ahora, quitamos denominadores para hacer más sencillos los cálculos. Lo hacemos multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores que, en este caso, es 2:

\displaystyle  \frac{2\cdot(x+2)}{2}-\frac{2\cdot3x}{1}-\frac{2\cdot3}{1}=\frac{2\cdot(-5x)}{2}-\frac{2\cdot2}{1}  Y simplificamos la fracciones:  latex \displaystyle
(x+2)-2\cdot3x – 2\cdot3 = -5x – 2\cdot2
$
Como hemos obtenido paréntesis de nuevo, los quitamos, esta vez, al ir sumando dicho paréntesis, se puede quitar sin más:
\displaystyle  x+2- 6x - 6 = -5x - 4
En tercer lugar, simplificamos términos semejantes:
\displaystyle  -5x-4 = -5x - 4
En el siguiente paso, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con dependientes (con incógnitas) en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 4 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  -5x-4 +4= -5x - 4 + 4
y simplificando términos semejantes:
\displaystyle  -5x = -5x
Ahora, sumamos 5x para quitar los términos con la incógnita del miembro de la derecha:
\displaystyle  -5x + 5x = -5x + 5x
Y se nos queda
\displaystyle  0 = 0

Como esa igualdad siempre es cierta (cero siempre es igual que cero) podemos concluir que no se trataba de una ecuación propiamente dicha, sino de una identidad. La diferencia es que las identidades son verdad para cualquier valor que se le dé a la incógnita y la ecuaciones sólo son verdad para algunos valores de la incógnita. Dichos valores son las soluciones de la ecuación.

Ejercicio ecuación 14

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{3(x+1)}{2} - x = \frac{x-4}{3}

Primero, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

\displaystyle  \frac{3x+3}{2} - x = \frac{x-4}{3}
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 6:

\displaystyle  \frac{6(3x+3)}{2} - \frac{6\cdot x}{1} = \frac{6 \cdot (x-4)}{3}
Y simplificamos las fracciones:
\displaystyle  3\cdot (3x+3) - 6x = 2\cdot (x-4)

Como hemos obtenido paréntesis, tenemos que quitarlos:
\displaystyle  9x+9 - 6x = 2x-8

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle  3x + 9 =2x-8

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 9 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  3x + 9 - 9 = 2x-8 - 9

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  3x = 2x-17
De igual forma, para quitar el 2x del miembro de la derecha, restamos 2x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  3x - 2x = 2x-17 -2x

Simplificando, obtenemos directamente la solución sin tener que despejar la incógnita con la regla del producto.

\displaystyle  x = -17





Ejercicio ecuación 15

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  3x-\frac{x-2}{2}=2\cdot \left (2+\left (\frac{x}{4} \right ) \right )

Primero, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

\displaystyle  3x-\frac{x-2}{2}=4+\left (\frac{2x}{4} \right )
y simplificamos la fracción del miembro de la derecha para que las cuentas sean más sencillas:
\displaystyle  3x-\frac{x-2}{2}=4+ \frac{x}{2}

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 2:

\displaystyle  \frac{2\cdot 3x}{1}-\frac{2\cdot (x-2)}{2}=\frac{2\cdot 4}{1}+ \frac{2\cdot x}{2}

Y simplificamos las fracciones:
\displaystyle  2\cdot 3x-(x-2)=2\cdot 4+ x

Como nos han salidos nuevos paréntesis, tenemos que quitarlos:
\displaystyle  6x-x+2=8 + x

Podemos simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle  5x + 2 = 8 + x

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 2 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  5x + 2 -2 = 8 + x -2

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  5x = 6 + x
De igual forma, para quitar la incógnita del miembro de la derecha, restamos x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  5x - x= 6 + x - x

Simplificando, obtenemos
\displaystyle  4x = 6
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
\displaystyle  \frac{4x}{4} = \frac{6}{4}
Con lo que la solución es:
\displaystyle  x = \frac{6}{4}
Y si la simplificamos:
\displaystyle  x = \frac{3}{2}

Ejercicio ecuación 16

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{x}{3} - \frac{x}{2} \right ) + \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{3} \right )

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:

\displaystyle  \frac{x}{6} - \frac{x}{4} +\frac{1}{9} = \frac{1}{4}-\frac{x}{6}
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 36:

\displaystyle  \frac{36\cdot x}{6} - \frac{36\cdot x}{4} +\frac{36\cdot 1}{9} = \frac{36\cdot 1}{4}-\frac{36\cdot x}{6}
Y simplificamos las fracciones:
\displaystyle  6x - 9x + 4 = 9-6x

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle  -3x + 4 = 9 - 6x

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 4 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  -3x + 4 - 4 = 9 - 6x - 4

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  -3x = 5 - 6x
De igual forma, para quitar el 2x del miembro de la derecha, sumamos 6x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  -3x + 6x = 5 - 6x + 6x

Simplificando, obtenemos
\displaystyle  3x = 5
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
\displaystyle  \frac{3x}{3} = \frac{5}{3}
Con lo que la solución es:
$latex \displaystyle
x = \frac{5}{3}

Ejercicio ecuación 17

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{2}{3} \left (\frac{4}{5}y+\frac{3}{6} \right )=\frac{2}{3}\left ( \frac{2}{4}y-\frac{3}{5} \right )

En primer lugar, nos fijamos que los dos miembros de la ecuación están multiplicados por el mismo número \displaystyle \frac{2}{3} por lo que lo podemos eliminar gracias a la regla del producto:

\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{3}{6} =\frac{2}{4}y-\frac{3}{5}

En segundo lugar, simplificamos las fracciones que no son irreducibles:

\displaystyle  \frac{4}{5}y+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}y-\frac{3}{5}

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 10:

\displaystyle  \frac{10\cdot 4}{5}y+\frac{10\cdot 1}{2} =\frac{10\cdot 1}{2}y-\frac{10\cdot 3}{5}

Y simplificamos las fracciones:
\displaystyle  8y + 5 = 5y - 6

El tercer paso consiste en simplificar los términos semejantes, pero no hay ninguno.

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 5 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  8y + 5 - 5= 5y - 6 -5

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  8y = 5y - 11
De igual forma, para quitar el 5y del miembro de la derecha, restamos 5y en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  8y - 5y = 5y - 11 - 5y

Simplificando, obtenemos
\displaystyle  3y = -11
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
\displaystyle  \frac{3y}{3} = \frac{-11}{3}
Con lo que la solución es:
\displaystyle  y = -\frac{11}{3}

Ejercicio ecuación 18

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  3\cdot (x-5) = \frac{2x}{4} + \frac{3\cdot (1-2x)}{6}

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva en el miembro de la izquierda y simplificando la fracción en el miembro de la derecha. También simplificamos la primera fracción del primer término del segundo miembro.

\displaystyle  3x-15 = \frac{x}{2} + \frac{1-2x}{2}
Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 2:

\displaystyle  \frac{2\cdot (3x-15)}{1} = \frac{2\cdot x}{2} + \frac{2\cdot (1-2x)}{2}

Y simplificamos las fracciones:

\displaystyle  2\cdot (3x-15) = x + (1-2x)

Y volvemos a quitar los paréntesis que nos han salido:

\displaystyle  6x-30 = x + 1-2x

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes:

\displaystyle  6x - 30 = 1 - x

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 30 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  6x - 30 + 30 = 1 - x + 30

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  6x = 31 - x
De igual forma, para quitar la x del miembro de la derecha, sumamos x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  6x + x = 31 - x + x

Simplificando, obtenemos

\displaystyle  7x = 31
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
\displaystyle  \frac{7x}{7} = \frac{31}{7}
Con lo que la solución es:
\displaystyle  x = \frac{31}{7}

Ejercicio ecuación 19

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle  \frac{5}{3} \cdot \left (3x-\frac{1}{4} \right ) = - \frac{1}{3} \cdot \left (3x+\frac{2}{5} \right )

En primer lugar, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:
\displaystyle  \frac{5}{3}\cdot 3x-\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{3} \cdot 3x-\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
Y simplificamos:
\displaystyle  5x-\frac{5}{12}=-x - \frac{2}{15}

Quitamos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores de las fracciones de la ecuación. En este caso, sería por 60:

\displaystyle  \frac{60\cdot 5x}{1}-\frac{60\cdot 5}{12}=-\frac{60\cdot x}{1} - \frac{60\cdot 2}{15}

Y volvemos a simplificar las fracciones:

\displaystyle  300x-25 = -60x - 8

El tercer paso consiste en simplificar sumando los términos semejantes, pero en este caso no hay ninguno.

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos sumando 25 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  300x - 25 + 25 = -60x - 8 + 25

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  300x = -60x + 17
De igual forma, para quitar el 60x del miembro de la derecha, sumamos 60x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  300x +60x = -60x + 17 + 60x

Simplificando, obtenemos

\displaystyle  360x = 17
Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:
\displaystyle  \frac{360x}{360} = \frac{17}{360}
Con lo que la solución es:
\displaystyle  x = \frac{17}{360}

Ejercicio ecuación 20

Ejercicios resueltos de ecuaciones \displaystyle \frac{2}{x-5} + \frac{1}{3} = 5

Esta ecuación tiene la incógnita en el denominador por lo que es distinta a todas las demás que hemos resuelto en esta entrada del blog. Se trata de una ecuación algebraica. Vamos a hacer una pequeña transformación para poder resolverla de forma parecida a las demás.

La idea es dejar sóla la fracción que tiene la incógnita en el denominador. Para ello, por la regla de la suma, vamos a restar \displaystyle \frac{1}{3} en los dos miembros de la ecuación:
\displaystyle  \frac{2}{x-5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 5 - \frac{1}{3}

Y simplificamos:
\displaystyle  \frac{2}{x-5} = \frac{14}{3}

Si te fijas, la ecuación representa ahora la igual entre dos fracciones. Y sabemos que dos fracciones son equivalentes cuando su producto en cruz también lo es:

\displaystyle  \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c

Utilizando esta misma propiedad tenemos que:
\displaystyle  \frac{2}{x-5} = \frac{14}{3}
Es equivalente a:

\displaystyle  2\cdot 3 = 14\cdot (x-5)

Después de estas operaciones previas, quitamos los paréntesis de los dos miembros de la ecuación con la propiedad distributiva:
\displaystyle  6 = 14x - 70

Para seguir resolviendo la ecuación, usaremos la regla de la suma para dejar los términos con incógnitas en un lado de la ecuación y los términos independientes en otro. Comenzamos restando 6 en los dos lados de la ecuación:

\displaystyle  6 - 6 = 14x - 70 - 6

Realizamos las operaciones indicadas para simplificar
\displaystyle  0 = 14x - 76
De igual forma, para quitar el 14x del miembro de la derecha, restamos 14x en los dos miembros de esta ecuación de primer grado.
\displaystyle  0 - 14x = 14x - 76 - 14x

Simplificando, obtenemos

\displaystyle  -14x = -76

Por último, en el quinto paso, aplicamos la regla del producto y dividimos entre el coeficiente de la incógnita:

\displaystyle  \frac{-14x}{-14} = \frac{-76}{-14}

Con lo que la solución es:

\displaystyle  x = \frac{-76}{-14}

Simplificando:

\displaystyle  x = \frac{38}{7}

Más dudas resueltas del canal de YouTube

Ejercicios resueltos de ecuaciones
Dada la buena acogida que está teniendo este vídeo en YouTube, esta entrada del blog ha crecido un montón. Para hacer más sencilla la consulta de las dudas, a partir de la número 20 os las voy a ir dejando en un fichero en PDF que podéis descargar un poco más abajo.
Muchas gracias por vuestro apoyo.

Descargar (PDF, Desconocido)

 

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25 Comments on “Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Vian
09/03/2017 at 00:10

Por favor me ayudan a resolver el siguiente problema.
Fernando tiene $240.50 para pagar 2 entradas a la alberca y 3 entradas al cine y aun le quedarían $ 24 pesos, si la entrada a la alberca cuesta $ 5.50 pesos menos, que la entrada al cine ¿ Cuanto cuesta la entrada a la alberca ?

Responder
Vian
09/03/2017 at 00:15

POR FAVOR AYUDENME ME URGE RESOLVERLO

Responder
Alfredo Calvo Uceda
09/03/2017 at 11:55

Hola Vian:

Vamos a pasar el problema a un lenguaje intermedio entre el castellano y el algebraico y, luego, planteamos la ecuación.

\displaystyle 2 \cdot alberca + 3 \cdot cine = (240.50 - 24)
es decir, lo que cuestan 2 entradas de alberca y 3 de cine es el dinero que tengo menos lo que me sobra al pagar.

También sabemos que:

\displaystyle  alberca = (cine - 5.50)

es decir, que la entrada de la alberca vale 5.50 menos que la del cine.

Si cambiamos en la primera ecuación alberca por (cine – 5.50) ya tenemos la ecuación que buscas:

\displaystyle  2 \cdot (cine - 5.50) + 3 \cdot cine = (240.50 - 24)

Para resolverla, aplicamos la distributiva para quitar los paréntesis
\displaystyle  2 \cdot cine - 11 + 3 \cdot cine = 216.50
Simplificamos términos semenjantes:
\displaystyle  5 \cdot cine - 11 = 216.50
Sumanos 11 en los dos términos de la ecuación:
\displaystyle  5 \cdot cine - 11 + 11= 216.50 + 11
y volvemos a simplificar:
\displaystyle  5 \cdot cine = 227.50
Por último, dividimos por 5 los dos miembros:
\displaystyle  \frac{5 \cdot cine}{5} = \frac{227.50}{5}
Calculando:
\displaystyle  cine = 45.50

Como sabemos que la alberca vale 5.50 menos que el cine, la entrada de la alberca será $40 y la del cine $45.50

Espero que te haya servido de ayuda.

Responder
Vian
09/03/2017 at 14:50

Gracias, ahora entiendo que lo que me falta aprender es a convertir el problema en lenguaje aljebraico.

Responder
Rodrigo Tarruella
13/02/2017 at 03:14

Muchas gracias. Me ha sido muy útil para ayudar a mi hija en sus tareas escolares. Por favor si pueden revisar el ejercicio 5. El resultado es 12. Saludos…

Responder
Alfredo Calvo Uceda
13/02/2017 at 09:38

¡Claro que sí! 48/4 es 12. Es lo malo de usar el “copiar y pegar”. Gracias por el aviso.

Responder
Desiree
22/01/2017 at 13:03

necesito que alguien me explique como se resuelve este problema de equación porfabor!!!
Un viaje en coche ha durado 7 horas. A augmentado la velocidad mediana en 15 Km/h, el viaje habría durado 1 hora menos.Cual fue la velocidad mediana?

Responder
Alfredo Calvo Uceda
22/01/2017 at 20:52

Hola Desiree:

Necesitamos recordar de la asignatura de Física que \displaystyle e = v \cdot t , es decir, que el espacio recorrido es igual al producto de la velocidad (se supone que es la media o que es constante) por el tiempo que tardamos en recorrer el trayecto.

En el viaje 1, los datos que nos dan son que tarda 7 horas, luego: \displaystyle t_1 = 7
\displaystyle e = v_1 \cdot 7
\displaystyle e = 7 \cdot v_1

Luego, nos dice el problema que si recorremos el mismo espacio, pero con una velocidad media 15 km/h superior tardamos una hora menos. Usando la misma fórmula tenemos que:

\displaystyle e = v_2 \cdot t_2

donde:

\displaystyle v_2 = (v_1 + 15) (vamos 15 km/h más rápido que en el caso 1)
\displaystyle t_2 = (t_1 - 1) = (7 - 1) = 6 horas (tardamos una hora menos que en caso 1)

Para resolver esto con una ecuación de de primer grado (y no con un sistema de ecuaciones), sabemos que el espacio es el mismo en las dos ocasiones, así que entonces

\displaystyle v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2

Si sustituimos las letras por los valores que ya conocemos, nos queda:

\displaystyle v_1 \cdot 7 = (v_1 + 15) \cdot 6

Quitamos paréntesis:

\displaystyle 7 cdot v_1 = 6 \cdot v_1 + 90

Restamos \displaystyle 6 \cdot v_1 en los dos miembros de la ecuación y nos queda:

\displaystyle v_1 = 90 km/h que es la velocidad que se recorrió el trayecto en el caso 1.

Espero que te haya ayudado. Si te sirvió, visita el canal y dale a “Me gusta” y compártelo con tus amigos.
Un saludo.

Responder
Marysol Karina Dávalos Velázquez
11/01/2017 at 22:07

Hola me gustaría que me expliques como se elimina el paréntesis en la siguiente ecuación:
(2m-5)(3m+6)=(6m-5)(m-4)
Por fa por fa ya me hice volas jejejej te lo agradecería mucho, no me des la solución solo el procedimiento, no se como eliminar el paréntesis.
Gracias y saludos!!!

Responder
Marysol Karina Dávalos Velázquez
11/01/2017 at 22:12

Saludos desde Jalisco, México

Responder
Alfredo Calvo Uceda
12/01/2017 at 08:45

Muchas gracias. Igualmente desde Granada, España.

Responder
Alfredo Calvo Uceda
12/01/2017 at 13:23

Para quitar esos paréntesis tienes que aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo:

\displaystyle (a+b) \cdot (c+d) = a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d

En tu ejercicio:

\displaystyle (2m-5)\cdot(3m+6) = (6m-5)\cdot(m-4)
Lo haríamos así:
\displaystyle 2m\cdot 3m + 2m\cdot 6 - 5\cdot 3m - 5\cdot 6 = 6m\cdot m - 6m\cdot 4 - 5\cdot m + 5\cdot 4
Simplificando:
\displaystyle 6m^2 + 12m - 15m - 30 = 6m^2 - 24m - 5m + 20
Ahora tendrías que simplificar términos semejantes y continuar.

Te lo dejo así, porque me has pedido la parte de quitar los paréntesis. Si necesitas más ayuda, me lo comentas y terminamos el ejercicios.

Un saludo.

Responder
Marysol Karina Dávalos Velázquez
12/01/2017 at 23:02

Haaaaa ya lo entendí muchas muchas gracias por responder, la verdad no sabía como hacerlo, pero ya lo resolví, eres genial, te debo una gracias gracias….

Responder
PAUL
26/09/2016 at 03:26

(2-2(x-3))/2-(x+4)/4=3

Responder
PAUL
26/09/2016 at 03:34

este es el problema

Responder
Alfredo Calvo Uceda
26/09/2016 at 08:14

Hola Paul:

Ahora sí que veo bien el ejercicio que nos quieres consultar. Te pongo los pasos según el esquema que hemos visto en los vídeos.

\displaystyle \frac{2-2(x-3)}{2} - \frac{x+4}{4}=3
Procedemos de forma parecida.
1) Quitar paréntesis:
\displaystyle \frac{2-2x+6}{2} - \frac{x+4}{4}=3
Y simplificamos los numeradores:
\displaystyle \frac{8-2x}{2} - \frac{x+4}{4}=3
2) Quitar denominadores: multiplicamos la ecuación por el mcm(2, 4) que es 4.
\displaystyle \frac{4cdot{}(8-2x)}{2} - \frac{4cdot{}(x+4)}{4}= \frac{4cdot{}3}{1}
Simplificamos las fracciones:
\displaystyle 2cdot{}(8-2x) - (x+4)=12
Volvemos a quitar los paréntesis:
\displaystyle 16-4x-x-4=12
3) Simplificamos términos semejantes:
\displaystyle 12-5x=12
4) Regla de la suma: restamos 12
\displaystyle -5x=0
5) Regla del producto: dividimos entre el coeficiente de la x que es -5
\displaystyle x=0

Espero que te ayude. Gracias por visitar nuestro blog.
Un cordial saludo.

Responder
PAUL
25/09/2016 at 22:43

2-2(X-3)-X+4=3
________ ____
2 4

Responder
PAUL
25/09/2016 at 20:50

ayuda con esto xfavor

Responder
robinson
24/09/2016 at 05:55

bien man se entiende muy claro

Responder
Alfredo Calvo Uceda
26/09/2016 at 08:36

¡Muchas gracias!

Responder
Pau Mora
21/03/2016 at 13:09

AYUDA PORFAVOR 3
_ (2X+4)=X+19
4

Responder
Alfredo Calvo Uceda
22/03/2016 at 16:15

\displaystyle \frac{3}{4}(2x+4) = x + 19

1) Quitar paréntesis:

\displaystyle \frac{(6x+12)}{4} = x + 19

2) Quitar denominadores multiplicando por 4
\displaystyle 6x+12 = 4x+76

3) Como no hay términos semejantes, despejamos la x con la regla de la suma:
\displaystyle 6x = 4x+64
\displaystyle 2x = 64

4) Aplicamos la regla del producto dividiendo entre 2:
\displaystyle x=32

Responder
PAUL
25/09/2016 at 20:49

2-2(X-3)-X+4=3
________ ____
2 4

Responder
Alfredo Calvo Uceda
25/09/2016 at 21:01

Hola Paul: no se ve muy bien tu pregunta, pero si la ecuación es:
\displaystyle 2-2(x-3)-x+4=3 entonces deberías:
1) Quitar paréntesis:
\displaystyle 2-2x+6-x+4 = 3
2) Quitar denominadores: no hay.
3) Simplificar términos semejantes:
\displaystyle 12-3x = 3
4) Regla de la suma: restamos 12
\displaystyle -3x = -9
5) Regla del producto: dividimos entre -3:
\displaystyle x = 3

Responder

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