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16/05/2017

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Además de ofrecerte una relación en PDF de Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones, en esta entrada te ayudamos con algunas pistas para resolver estos sistemas de ecuaciones.

Descargar los documentos PDF con ejercicios de sistemas de ecuaciones.

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma: \displaystyle ax + by = c. Esta ecuación tiene infinitas soluciones. Veamos un ejemplo:

\displaystyle 2x + y = 1

Una solución de esta ecuación es un par de números  \displaystyle (x, y) que verifican dicha ecuación.

Si le damos a las incógnitas los valores  \displaystyle x = 1 \displaystyle y = -1 podemos sustituir dichos valores en la ecuación:

\displaystyle 2(1) + (-1) = 1

Si hacemos las cuentas, se obtiene:

\displaystyle 2-1 = 1

\displaystyle 1 = 1

Con lo que podemos concluir que el par de números \displaystyle (2, -1) es solución de la ecuación anterior.

¿Una única solución?

¿Es la única solución que existe? Esta pregunta tiene fácil respuesta. No, no es la única. Si nos podemos a buscar pares de números que verifiquen dicha ecuación, encontramos que hay infinitos:

\displaystyle x \displaystyle y \displaystyle (x,y) \displaystyle 2x + y = 1
\displaystyle -2 \displaystyle +5 \displaystyle (-2,+5) \displaystyle 2(-2)+(+5)=1
\displaystyle -1 \displaystyle +3 \displaystyle (-1,+3) \displaystyle 2(-1)+(+3)=1
\displaystyle 0 \displaystyle +1 \displaystyle (0,+1) \displaystyle 2(0)+(+1)=1
\displaystyle +1 \displaystyle -1 \displaystyle (+1,-1) \displaystyle 2(+1)+(-1)=1
\displaystyle +2 \displaystyle -3 \displaystyle (+2,-3) \displaystyle 2(+2)+(-3)=1
\displaystyle +3 \displaystyle -5 \displaystyle (+3,-5) \displaystyle 2(+3)+(-5)=1
\displaystyle +4 \displaystyle -7 \displaystyle (+4,-7) \displaystyle 2(+4)+(-7)=1

Todos los pares de números que aparecen en la tabla son soluciones de esta ecuación. Si representamos estos pares de números en unos ejes cartesianos, la gráfica que obtenemos es una línea recta.

Gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas

Figura 1

Podemos utilizar otra ecuación lineal con dos incógnitas y calcular sus soluciones. \displaystyle x + y =-1

Vamos a utilizar otra tabla para calcular alguna de sus soluciones:

\displaystyle x \displaystyle y \displaystyle (x,y) \displaystyle x + y = -1
\displaystyle -2 \displaystyle +1 \displaystyle (-2,+1) \displaystyle (-2)+(+1)=-1
\displaystyle -1 \displaystyle 0 \displaystyle (-1,0) \displaystyle (-1)+(0)=1
\displaystyle 0 \displaystyle -1 \displaystyle (0,-1) \displaystyle (0)+(-1)=-1
\displaystyle +1 \displaystyle -2 \displaystyle (+1,-2) \displaystyle (+1)+(-2)=-1
\displaystyle +2 \displaystyle -3 \displaystyle (+2,-3) \displaystyle (+2)+(-3)=-1
\displaystyle +3 \displaystyle -4 \displaystyle (+3,-4) \displaystyle (+3)+(-4)=-1
\displaystyle +4 \displaystyle -5 \displaystyle (+4,-5) \displaystyle (+4)+(-5)=-1

De nuevo, vemos que hay múltiples soluciones. Si las representamos en color rojo en unos ejes cartesianos obtenemos una recta con todas las soluciones:

Gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas

Figura 2

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que debemos resolver a la vez, es decir, la solución del sistema de ecuaciones debe ser, al mismo tiempo, solución de todas las ecuaciones del sistema. Vamos a utilizar las dos ecuaciones de antes para montar un sistema de ecuaciones.

\left.\begin{matrix}2x&+y&=&1\\x&+y&=&-1\end{matrix}\right\}
Si nos fijamos en las tablas, hay un par de valores que se repite en las dos. Se trata del punto \displaystyle (+2, -3). Esta solución lo es de las dos ecuaciones al mismo tiempo, por tanto, diremos que es la solución del sistema de ecuaciones

Ahora, repasaremos brevemente algunos de los métodos para obtener la solución de un sistema de ecuaciones.

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones

  1. Quitar paréntesis de las dos ecuaciones.
  2. Quitar denominadores de las dos ecuaciones.
  3. Simplificar términos semejantes en cada ecuación.
  4. Mediante la regla de la suma, colocar los términos dependientes (los que tienen incognitas) en el miembro de la izquierda y los independientes en el de la derecha.
  5. Aplicar alguno de los siguientes métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Método gráfico

Esta forma de resolver un sistema de ecuaciones consiste en representar las dos ecuaciones en unos ejes de coordenadas cartesianas y buscar manualmente el punto, en que las dos rectas que representan las soluciones de cada ecuación, se cruzan. Dicho punto es la solución del sistema. En el ejemplo que estamos manejando, lo representamos como el punto A en color verde mediante el programa Geogebra:

Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.

Este método tiene como el inconveniente en que depende de la precisión con la que hagamos la representación será más o menos sencillo encontrar la solución. Si la solución contiene fracciones o raíces es muy complicado averiguar con exactitud cuál es la solución.

Por ello, es mejor usar alguno de los siguientes métodos de cálculo algebraico de la solución.

Método de reducción

Quizás se trate del método más complicado de entender, pero, en la práctica, es el que nos permite obtener las soluciones con más rapidez. Sin dudas, es el que yo te recomiendo.

La idea es sumar las dos ecuaciones de forma que se vaya una de las incógnitas. Para ello, debemos conseguir que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con el signo contrario.

Esto lo logramos gracias a la regla del producto. Como norma general, podemos calcular el mcm de los coeficientes de la incógnita que queremos reducir. Entonces, dividimos este mcm entre el coeficiente de la incógnita de la primera ecuación y multiplicamos dicha primera ecuación por el resultado. Hacemos lo mismo con la segunda ecuación. Si los signos de los coeficientes son iguales (los dos positivos o los dos negativos), multiplicamos una de las dos ecuaciones por -1 para que dichos signos sean diferentes.

Por último, sumamos las dos ecuaciones. La nueva ecuación que se obtiene sólo tiene una incógnita y es muy fácil de resolver. Cuando ya tenemos el valor de la incógnita, calculamos la otra incógnita sustituyendo en la ecuación que nos resulte más fácil.

\displaystyle \left.\begin{matrix}7x&+2y&=&31\\5x&+3y&=&30\end{matrix}\right\}

Pasos para resolver por me método de reducción.

  1. Calculamos el mcm de los coeficientes de la y que es 6.
  2. Dividimos 6 entre los coeficientes de la y en cada ecuación y multiplicamos dicha ecuación por ese número (podíamos también haber elegido la x, pero el mcm es 35 y salen números más grandes): \displaystyle \left.\begin{matrix}3 \cdot (7x&+2y&=&31)\\2 \cdot (5x&+3y&=&30)\end{matrix}\right\}
  3. Como los dos coeficientes tienen el mismo signo, ponemos negativo el número que multiplica en alguna de las dos ecuaciones, por ejemplo, en la segunda: \displaystyle \left.\begin{matrix}3 \cdot (7x&+2y&=&31)\\-2 \cdot (5x&+3y&=&30)\end{matrix}\right\}
  4. Hacemos las multiplicaciones indicadas:  \displaystyle \left.\begin{matrix}21x&+6y&=&93\\-10x&-6y&=&-60\end{matrix}\right\}
  5. Sumamos las dos ecuaciones  \displaystyle \left.\begin{matrix}21x&+6y&=&93\\-10x&-6y&=&-60\\11x&&=&33\end{matrix}\right\}
  6. Al sumar, obtenemos una ecuación donde se ha reducido el número de incógnitas: \displaystyle 11x = 33
  7. Resolvemos esta ecuación dividiendo entre 11 y obtenemos \displaystyle x=3
  8. Para calcular la otra incógnita, sustituimos el valor obtenido de x en alguna de las ecuaciones. Por ejemplo, en la primera:  \displaystyle 7(3)+2y=31
  9. Resolvemos: \displaystyle 21+2y=31
  10. Restamos 21: \displaystyle 2y=10
  11. Dividimos entre 2: \displaystyle y=5
  12. Con lo que obtenemos la solución del sistema: \displaystyle (+3, +5)

En este vídeo, te lo explico más despacio con otros dos ejemplos. Debajo tienes el enlace a más ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones:

Ir a los ejercicios resueltos por el método de reducción

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en estos dos pasos:

  1. Despejar la incógnita que veamos más sencilla en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.
  2. Sustituir el valor despejado de la incógnita en la otra ecuación.

En el paso 2, obtenemos una ecuación que sólo tiene una incógnita, por lo que la resolvemos como una ecuación de grado 1 normal. Cuando tengamos su solución, podemos calcular la otra incógnita sustituyendo su valor en la expresión de la incógnita despejada del paso 1.

Veamos un ejemplo:

\displaystyle \left.\begin{matrix}x&-y&=&2\\-3x&+5y&=&0\end{matrix}\right\}

Paso 1: despejamos una incógnita.

La más sencilla es la x de la primera ecuación porque es positiva y su coeficiente es 1.

\displaystyle x-y=2

Si sumamos y en los dos términos de la ecuación:

\displaystyle x=2+y

Ya tenemos la incógnita despejada.

Paso 2: sustituimos el valor de la incógnita despejada

En la otra ecuación:

\displaystyle -3x+5y=0

cambiamos la incógnita x por el valor que hemos despejado \displaystyle 2+y

\displaystyle -3\cdot(2+y) + 5y = 0

Paso 3: resolvemos la ecuación con una incógnita

\displaystyle -6+-3y + 5y = 0

Simplificamos términos semejantes: \displaystyle -6+2y = 0

\displaystyle 2y =6

Dividimos entre 2: \displaystyle y = 3

Paso 4: sustituimos el valor de la incógnita en la expresión despejada

En la expresión donde hemos despejado  cambiamos la incógnita por el valor calculado:

\displaystyle x=2+(3)

\displaystyle x=5

Como ya tenemos el valor de cada incógnita, podemos concluir que la solución del sistema es:

\displaystyle (+5, +3)

En este vídeo, tienes más ejemplos y una explicación más detallada. Debajo del vídeo, tienes el enlace con más ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones:

Ver más ejercicios resueltos por el método de sustitución.

Método de igualación

El método de igualación para resolver sistemas de ecuaciones es similar al de sustitución. La principal diferencia es que vamos a despejar ahora en las dos ecuaciones a la vez.

Vamos a calcular este ejercicio: \displaystyle \left.\begin{matrix}9x&-16y&=&54\\5x&+17y&=&30\end{matrix}\right\}

Paso 1: despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

Podemos dos posibilidades: despejar la incógnita   o la y. ¿Qué es mejor? La idea es elegir la que tenga los coeficientes menores, preferentemente 1, y que sean positivos. Si la incógnita que nos gusta está en negativo, multiplicamos la ecuaciones por menos 1 para cambiar los signos. En este caso, vamos a coger la x.

Intentamos dejar los términos de la incógnita en uno de los miembros de la ecuación:

\displaystyle \left.\begin{matrix}9x&=&54+16y\\5x&=&30-17y\end{matrix}\right\}

Despejamos la incógnita en las dos ecuaciones:

\displaystyle \left.\begin{matrix}x&=&\frac{54+16y}{9}\\x&=&\frac{30-17y}{5}\end{matrix}\right\}

Paso 2: igualar las dos expresiones que hemos despejado.

Recuerda que:
\displaystyle a=b, a=c \Leftrightarrow b=c

Utilizando esta propiedad, podemos igualar las dos expresiones que hemos obtenido de la incógnita en el paso anterior. De este modo, obtenemos una ecuación que sólo tiene una incógnita.

\displaystyle \frac{54+16y}{9} = \frac{30-17y}{5}

Paso 3: resolver la ecuación.

Resolvemos esta ecuación, bien quitando denominadores, bien por el producto en cruz:

\displaystyle 5\cdot \left (54+16y  \right ) = 9\cdot \left (30-17y  \right )

\displaystyle 270 + 80y = 270 - 153y

\displaystyle 233y =0

\displaystyle y =0

Paso 4: calcular la otra incógnita

Para ello, podemos usar cualquier de las dos expresiones donde previamente habíamos despejado la incógnita. Por ejemplo,

\displaystyle x= \frac{54+16y}{9}

Y sustituir allí, la incógnita por su valor:

\displaystyle x= \frac{54+16(0)}{9}

\displaystyle x= \frac{54+0}{9}

\displaystyle x= \frac{54}{9}

\displaystyle x= 6

Con lo que obtenemos el resultado del sistema: \displaystyle (+6, 0)

En el siguiente vídeo, te los explicamos un poco más despacio:

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales

Vamos a organizar los ejercicios resueltos en tres grupos según los métodos de cálculo utilizados en cada uno de ellos:

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

Descargar (PDF, Desconocido)

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

Descargar (PDF, Desconocido)

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por el método de igualación

Descargar (PDF, Desconocido)

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

2 Comments on “Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales

JA Giron
06/10/2017 at 14:37

Muchas gracias por tan excelente trabajo

Responder
Alfredo Calvo Uceda
06/10/2017 at 15:40

Me alegro de que te haya servido. Si puedes, comparte el enlace. Un saludo.

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