Números enteros

Números rojos: Seguramente habrás oído decir alguna vez que alguien está “en números rojos”. Quiere decir que tiene deudas. Para describir esta situación no podemos usar los números naturales, debemos profundizar un poco más. Números enteros

Introducción

Partimos de N={0, 1, 2, 3, 4, …} denominado el conjunto de números naturales.

En el conjunto de números naturales hemos realizado las siguientes operaciones durante los cursos anteriores:

  • Suma: 2+10 = 12
  • Resta: 7–3 = 4
  • Multiplicación: 8 · 7 = 56
  • División: 20 : 4 = 5

Sin embargo, en la operación restar, algunas veces, el resultado no es un número natural. Ejemplo: 5 – 9 = ?. Por eso vamos a ampliar el estudio de los números naturales y llegar al conjunto de los números enteros. A dicho conjunto se le denomina conjunto Z.

Los números enteros en el mundo

Habitualmente, en la vida diaria nos encontramos con multitud de realidades que nos resultan sencillas de representar mediante números. Sin embargo, para representar algunas de esas realidades los números naturales se quedan cortos. Vamos a ver un ejemplo:

Para describir las alturas se suele utilizar como referente el nivel del mar. Así podemos decir que Granada está a 650 m sobre el nivel del mar. Utilizando los números enteros lo expresaremos de la siguiente manera: + 650 metros. El signo + nos indica que estamos más altos que el mar.

Si estamos haciendo pesca submarina y encontramos un pez a 20 metros bajo el mar, lo podemos representar de la siguiente forma: – 20 metros. Donde el signo – indica que estamos más bajos que el nivel del mar.

Por tanto, los números enteros nos permiten describir otras muchas realidades de nuestro mundo como:

  • La temperatura
  • La fluctuación de la bolsa
  • Los años (antes y después de Cristo)
  • El estado de nuestra cuenta bancaria
  • El I.P.C.
  • El crecimiento demográfico
  • Y muchas más…



Representación de los números enteros en una recta

Los matemáticos denominan Z al conjunto de números enteros. Ellos lo definen así: Z = {…,–5,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,5…}

Así, podemos representar los números enteros en la recta. Para ello, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Se dibuja la recta y se elige un punto para representar el cero. A la derecha se elige un punto para representar el +1. La distancia entre 0 y el +1 será la que exista entre dos enteros consecutivos cualesquiera.Representación de los números enteros en una recta
  2. En segundo lugar, se sitúan los enteros positivos a la derecha del cero, como se hizo con los números naturales.
  3. Para terminar, cada entero negativo se sitúa a la izquierda del cero a la misma distancia que el correspondiente entero positivo.Representar números enteros en una recta

Clasificación de los números enteros

Podemos dividir el conjunto Z en tres subconjuntos:

  • Z+ = {+1, +2, +3,…} llamados números enteros positivos.
  • {0} llamado número entero cero
  • Z = {–1, –2, –3,…} llamados números enteros negativos.

Importante: Ten en cuenta que los elementos de Z+ se pueden representa con o sin el signo + delante, es decir: 2 y +2 representan al mismo número entero, el dos positivo.

Valor absoluto de un número entero

Se denomina valor absoluto de un número entero a un número natural que se obtiene suprimiendo el signo a dicho número entero. El valor absoluto se indica encerrando al número entre dos barras verticales. Ejemplos:

  • |+3| = 3 que se lee «valor absoluto del número entero +3 es igual al número natural 3»
  • |–2| = 2 que se lee «valor absoluto del número entero –2 es igual al número natural 2»
  • |–5| = |+5| = 5

Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es el entero con el mismo valor absoluto que él, pero con signo contrario.

Ejemplo: el opuesto de –8 es +8

op. (+7) = –7

Normalmente, utilizamos el signo – también para expresar el opuesto de un número. Por ejemplo, –(+7) = –7

Ordenación de los números enteros

  • En primero lugar, de dos números positivos es menor el de menor valor absoluto.
  • El cero es menor que cualquier entero positivo.
  • Todo número entero negativo es menor que cualquier positivo.
  • Cualquier entero negativo es menor que el cero.
  • Por último, de dos números negativos es menor el que tiene mayor valor absoluto.

Suma de números enteros

  1. Adición de dos números enteros positivos: Se suman sus valores absolutos poniendo el signo +. Ej: \displaystyle (+3) + (+2) = (+5)
  1. Adición de dos números enteros negativos: Se suman sus valores absolutos poniendo el signo –. Ej: \displaystyle (-3) + (-2) = (-5)
  1. Adición de un número entero positivo y otro negativo: Se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del número entero que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos: \displaystyle (+8) + (-3) = (+5) \displaystyle (-12) + (+10) = (-2)

Como ejemplo, podemos realizar la suma sobre la recta que representa a los números. Cuando sumo un número positivo doy un salto hacia la derecha y si sumo un número negativo lo hago hacia la izquierda:

Ejemplo: \displaystyle (-2) + (+5) = (+3)

Aquí, tienes otro vídeo con ejemplos de sumas de un número entero con un número natural.

Propiedades de la suma de enteros

Ley de composición interna

Si sumamos números enteros, el resultado es un número entero.   Ej: \displaystyle (+5) + (-9) = (-4)

Asociativa

Dicha propiedad, consiste en sustituir dos o más sumandos por su suma efectuada sin que la suma total de números enteros varíe. Es decir, cuando tenemos más de dos sumas, el orden en que resolvemos dichas sumas no varía el resultado total.

Ejemplo: Podemos aplicar esta propiedad de varias maneras, aunque siempre debemos obtener el mismo resultado:

(+5)+(+9)+(-7)=

Se puede hacer de varias formas:

\left [(+5)+(+9)  \right ]+(-7)=

Asociamos los dos primeros sumandos:

\displaystyle (+14)+(-7)

(+7)

Y, por ejemplo, se puede hacer de esta otra forma:

(+5)+\left [(+9)+(-7)  \right ]=

En este caso, asociamos los dos últimos sumandos.

\displaystyle (+5)+(+2)

(+7)

Conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma de números enteros. Ejemplo: (+8)+(+2) = (+2)+(+8) = +10

Elemento neutro

Todo número entero sumado a cero, es igual a ese mismo número entero.  Por tanto, decimos que el cero es el elemento neutro para la suma de los números enteros. Ejemplo: (-5) + 0 = +5

Elemento simétrico

Existe, para todo número entero, otro número entero que, sumado a él, da el elemento neutro (en este caso el 0). Dicho número es el opuesto del primero.

Ejemplo: (+4) + (-4) = 0

Por tanto, el elemento simétrico del (+4) es su opuesto: el (-4)

Concluyendo, al existir la propiedad del elemento simétrico de la suma de enteros, podemos decir que siempre se va a poder hacer la operación contraria, la resta. Antes, con los números naturales no siempre podíamos restar dos números.

Multiplicación de números enteros.

Multiplicación de dos números enteros con el mismo signo

Para multiplicar dos números enteros con el mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y se pone el signo +.

Ejemplo 1: (+6) ·  (+5)=(+30)

Ejemplo 2: ( –3) · ( –5)=(+15)

Multiplicación de un números enteros con distinto signo

Se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo –

Ej1.: (+6) · ( –2)=( –12)

Ej2.:( –4) · (+6)=( –24)

Regla de signos.

Podemos resumir lo visto en los dos apartados anteriores mediante esta tabla de signos:

\displaystyle + \cdot + = +
\displaystyle + \cdot - = -
\displaystyle - \cdot + = -
\displaystyle - \cdot - = +

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos del porqué de la regla de los signos:

    1. La fundación ITAKA-Escolapios recibe 100 € de un socio cada mes. Si el socio se mantiene 12 meses, ¿cuánto recibirá la fundación?
      • ITAKA-Escolapios recibe 100 € cada mes: lo expresamos como +100 €
      • Durante 12 meses: +12 meses
      • Resultado, recibe 1200 €: (+12) · (+100) = (+1200) €
    2. El colegio gasta 90 € de teléfono al mes. ¿Cuánto gastará en 4 meses?
      • Gastar 90 €: (–90) €
      • Durante 4 meses: (+4) meses
      • Resultado, gasta 360 €: (–90) × (+4) = (–360) €
    3. Cuando voy al cine me gasto 4,5 €. Si dejo de ir durante 4 semanas, ¿cuánto habré ahorrado?
      • Ir al cine: (–4,5) €
      • Dejar de ir cuatro semanas: (–4) semanas
      • Ahorro 18 €: (–4,5) × (–4) = +18 €

Omisión del signo

Es común que una operación del estilo \displaystyle (+3)\cdot(-2) se exprese omitiendo el signo  y se escriba así \displaystyle (+3)(-2) .

Veamos otro ejemplo: la expresión \displaystyle (-1)\cdot(-2)   también se puede escribir.

Propiedades de la multiplicación de números enteros

Ley de composición interna

Si multiplicamos números enteros el resultado es un número entero.

Ej: \displaystyle (-4) \cdot (+6) = -24

Asociativa

Consiste en sustituir dos o más factores por su producto efectuado sin que el producto total de números enteros varíe. Es decir, que cuando tenemos varias multiplicaciones seguidas, podemos hacer las multiplicaciones en el orden que más nos interese.

Ej:       \displaystyle (-4) \cdot (+3) \cdot (-2)= -24 se puede hacer de varias formas:

  1. \displaystyle [(-4) \cdot (+3)] \cdot (-2)= (-12) \cdot (-2) = +24
  2. \displaystyle (-4) \cdot [(+3) \cdot (-2)]= (-4) \cdot (-6) = +24
  3. \displaystyle [(-4) \cdot (-2)] \cdot (+3)= (+8) \cdot (+3) = +24

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto de números enteros.

Ej: \displaystyle (-4) \cdot (+3) = (+3) \cdot (-4)

Elemento neutro

Todo número entero multiplicado por \displaystyle (+1)  es igual a ese mismo número entero.

Ej: \displaystyle (+4) \cdot (+1) = (+4)

Distributiva de la multiplicación respecto a la suma

Esta propiedad hace referencia tanto a la suma como al producto de números enteros. Consiste en multiplicar un número llamado factor por cada uno de los sumandos.

Se trata de una forma de transformar el producto de un número entero por una o varias sumas como la suma de los productos de dicho número entero por cada uno de los factores.

Veamos un ejemplo:

\displaystyle (-3) \cdot [(-2) + (+3) - (+4)] =
\displaystyle (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot(+3) - (-3) \cdot(+4) =
\displaystyle (+6) + (-9) - (-12) = (+6) + (-9) + (+12) =  +9

Sacar factor común

Veamos la siguiente operación:

\displaystyle -7 \cdot (+3) + (-7) \cdot (-2) =
Nos fijamos en que \displaystyle -7 aparece en los dos términos de la suma: está repetido. A este término repetido se le llama factor común. En este contexto, la palabra común se refiere a que aparece en todos los términos. Dicho término repetido podemos extraerlo, y sacarlo como un factor común:

\displaystyle -7 \cdot [(+3) + (-2)] =

La propiedad distributiva y sacar factor común son operaciones complementarias de forma análoga a como lo son la suma y la resta o la multiplicación y la división: \displaystyle -7 \cdot [(+3) + (-2)] = -7 \cdot (+3) + (-7) \cdot (-2) =
Si leemos esta expresión de derecha a izquierda, estamos aplicando la extracción de factor común, pero si la leemos de izquierda a derecha, vemos cómo estamos aplicando la propiedad distributiva.

División de números enteros

División exacta de dos números enteros: la división exacta de dos números enteros llamados dividendo y divisor, respectivamente, es la operación que tiene por objeto encontrar otro número entero llamado cociente exacto, tal que al multiplicarlo por el divisor dé el valor del dividendo: \displaystyle a:b = c  \Leftrightarrow{} b\cdot c = a 

Por ejemplo: \displaystyle (-12) : 4 = (-3) porque \displaystyle 4 \cdot (-3) = (-12)

Regla de signos.

Podemos resumir lo visto en los dos apartados anteriores mediante esta tabla de signos:

\displaystyle + : + = +
\displaystyle + : - = -
\displaystyle - : + = -
\displaystyle - : - = +

Jerarquía u orden de las operaciones combinadas

Al realizar una serie de operaciones combinadas hay que seguir este orden:

1) Primero resolvemos todas las operaciones que haya dentro de los paréntesis. Si hay unos paréntesis dentro de otros, es mejor hacer primero las operaciones de los paréntesis más interiores.
2) Hacer las multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, haremos primero las que estén más a la izquierda.
3) Hacer sumas y restas. Recuerda que si la resta es de un entero, primero debemos pasar a suma dicha resta.

Veamos un ejemplo resuelto paso a paso:

Nota: Una excepción a este orden es cuando aplicamos la propiedad distributiva.

Ejercicios resueltos de operaciones combinadas de enteros

Ejemplo 1: \displaystyle (-35):(5+2)+(-4)\cdot9-(7-2\cdot5)=

Primero, operamos dentro de los paréntesis:
\displaystyle (-35):7+(-4)\cdot9-(7-10)=
\displaystyle (-35):7+(-4)\cdot9-(-3)=

Ahora, resolvemos multiplicaciones y divisiones:
\displaystyle (-5)+(-36)-(-3)=

Pasamos la resta de un entero a suma:
\displaystyle (-5)+(-36)+(+3)=

Resolvemos las sumas aplicando la propiedad asociativa
\displaystyle (-41)+(+3)=-38

Ejemplo 2: \displaystyle [(3-4)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=

Resolvemos primero el paréntesis que hay dentro del corchete:

\displaystyle [(-1)+(-2)]\cdot4+9:(-3)\cdot6=

Calculamos las cuentas del paréntesis:
\displaystyle (-3)\cdot4+9:(-3)\cdot6=

Ahora, las multiplicaciones y divisiones:
\displaystyle (-12)+(-3)\cdot6=

Por último, la suma de números enteros:
\displaystyle (-12)+(-18)=-30

Ejemplo 3: \displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6-(-11))]=

Antes de resolver el paréntesis, pasamos su resta a suma:

\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(4+6+(+11))]=

Calculamos el paréntesis más interior:
\displaystyle -5\cdot(-5)+[2-(+21)]=

Calculamos el corchete pasando su resta previamente a suma:
\displaystyle -5\cdot(-5)+[2+(-21)]=

Resolvemos el producto:
\displaystyle -5\cdot(-5)+(-19)=

Por último, hacemos la suma:
\displaystyle (+25)+(-19)=+6

Más ejercicios resueltos de operaciones combinadas con números enteros

Dado lo importante de este tema, te dejo aquí una entrada del blog dedicada a la jerarquía de operaciones. Además de algunos consejos, puedes descargar un PDF con operaciones combinadas con números enteros resueltas paso a paso para que puedas practicar.

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