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05/04/2017

T03 – Potencias y raíces cuadradas

Potencias de números enteros y raíces cuadradas

Potencias y raíces cuadradas

En este tema dedicado a las potencias y raíces cuadradas trataremos los temas que aparecen en la siguiente tabla de contenidos:

Definición

Una potencia de exponente natural consiste en repetir un número llamado base como factor tantas veces como indica otro llamado exponente.
Ej: \displaystyle 4^2 = 4 \cdot 4 = 16
Se llama potencia de base a (donde a pertenece al conjunto de los números enteros Z) y exponente b (donde b pertenece al conjutno de los números  naturales N) al producto de b factores iguales a a.

Casos particulares

  1. Potencias de 0. Cuando la base es 0 el resultado es igual a 0. Ej: \displaystyle 0^2 = 0
  2. Potencias de 1. Cuando la base es 1 el resultado es igual a 1. Ej: \displaystyle 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
  3. Potencias de exponente 0. Todo número elevado a cero es igual a uno. Ej: \displaystyle 4^0 = +1
  4. Potencias de exponente 1. Cuando el exponente es uno el resultado es igual a la base. Ej: \displaystyle 3^1 = 3
  5. Potencias de 10. Es igual a la unidad seguida de tantos 0 como indica el exponente. Ej: \displaystyle 10^3 = 1000
  6. Las potencias cuyo exponente es el 2 se denominan cuadrados y las de exponente 3 se denominan cubos.

Potencias de números enteros negativos

  1. Cuando la base es negativa
    • y el exponente impar, el resultado es un número negativo. Ej:
    • y el exponente par, el resultado es un número positivo. Ej:
  2. Cuando la base es positiva, el resultado también es positivo.

Resumiendo, el resultado de todas las potencias de base positiva es positivo, salvo cuando la base es negativa y el exponente impar.

Operaciones con potencias

Suma y diferencia de potencias

Para que varias potencias se puedan sumar algebraicamente es necesario que tengan la misma base y el mismo exponente.
Ejemplo 1:

\displaystyle 3^5 +3^5 +3^5 +3^5 =4 \cdot 3^5
Ejemplo 2:

\displaystyle a^n + a^n + a^n = 3 \cdot a^n

Fórmulas de potencias con la misma base

Producto de potencias de la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ej: \displaystyle a^n \cdot a^m =a^{n+m}
Ej2: \displaystyle 2^5 \cdot 2^3 =2^{5+3} = 2^8

División de potencias de la misma base.

Es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Ej: \displaystyle a^n : a^m = a^{n-m}

También se puede escribir en forma de fracción: \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

Ej2: \displaystyle 3^7 :3^4 = 3^{7-4} = 3^3

Potencia de una potencia

Es una potencia de la misma base y por exponente el producto de los exponentes: \displaystyle [(a^n)^m] = a^{n \cdot m}

Potencias con el mismo exponente

Producto de potencias con el mismo exponente

«Para multiplicar dos potencias con el mismo exponente, dejamos el exponente igual en el resultado y multiplicamos las bases».

\displaystyle a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n

División de potencias con el mismo exponente

«Para dividir dos potencias con el mismo exponente, dejamos el exponente igual en el resultado y dividimos las bases».

\displaystyle a^n : b^n = (a:b)^n

En forma de fracción quedaría así:

\displaystyle \frac{a^n}{ b^n} = \left (\frac{a}{b}  \right )^n

El orden de las operaciones cuando aparecen potencias y raíces cuadradas

Al introducir las potencias debemos reestructurar el orden de operación:

1) Resolver las operaciones que haya dentro de paréntesis
2) Realizar las potencias y raíces.
3) Hacer las multiplicaciones y divisiones.
4) Hacer sumas y restas.

Raíces cuadradas con decimales

Raíces cuadradas exactas

Se define la raíz cuadrada de un número llamado radicando a como la base de una potencia elevada al cuadrado que da de resultado el número original a.

\displaystyle  \sqrt{a} = b \Leftrightarrow{b^2 = a}

Esta tabla, relaciona las potencias y raíces cuadradas exactas de números naturales:

Número   Raíz cuadrada exacta  Explicación
1 1 \displaystyle  \sqrt{1} = 1 \Leftrightarrow{1^2 = 1 \cdot 1 = 1}
4 2 \displaystyle  \sqrt{4} = 2 \Leftrightarrow{2^2 = 2 \cdot 2 = 4}
9 3 \displaystyle  \sqrt{9} = 3 \Leftrightarrow{3^2 = 3 \cdot 3 = 9}
16 4 \displaystyle  \sqrt{16} = 4 \Leftrightarrow{4^2 = 4 \cdot 4 = 16}
25 5 \displaystyle  \sqrt{25} = 5 \Leftrightarrow{5^2 = 5 \cdot 5 = 25}
36 6 \displaystyle  \sqrt{36} = 6 \Leftrightarrow{6^2 = 6 \cdot 6 = 36}
49 7 \displaystyle  \sqrt{49} = 7 \Leftrightarrow{7^2 = 7 \cdot 7 = 49}
64 8 \displaystyle  \sqrt{64} = 8 \Leftrightarrow{8^2 = 8 \cdot 8 = 64}
81 9 \displaystyle  \sqrt{81} = 9 \Leftrightarrow{9^2 = 9 \cdot 9 = 81}
100 10 \displaystyle  \sqrt{100} = 10 \Leftrightarrow{10^2 = 10 \cdot 10 = 100}
121 11 \displaystyle  \sqrt{121} = 11 \Leftrightarrow{11^2 = 11 \cdot 11 = 121}
144 12 \displaystyle  \sqrt{144} = 12 \Leftrightarrow{12^2 = 12 \cdot 12 = 144}
169 13 \displaystyle  \sqrt{169} = 13 \Leftrightarrow{13^2 = 13 \cdot 13 = 169}
196 14 \displaystyle  \sqrt{196} = 14 \Leftrightarrow{14^2 = 14 \cdot 14 = 196}
225 15 \displaystyle  \sqrt{225} = 15 \Leftrightarrow{15^2 = 15 \cdot 15 = 225}
256 16 \displaystyle  \sqrt{265} = 16 \Leftrightarrow{16^2 = 16 \cdot 16 = 256}
 289 17 \displaystyle  \sqrt{289} = 17 \Leftrightarrow{17^2 = 17 \cdot 17 = 289}
324 18 \displaystyle  \sqrt{324} = 18 \Leftrightarrow{18^2 = 18 \cdot 18 = 324}
361 19 \displaystyle  \sqrt{361} = 19 \Leftrightarrow{19^2 = 19 \cdot 19 = 361}
400 20 \displaystyle  \sqrt{400} = 20 \Leftrightarrow{20^2 = 20 \cdot 20 = 400}

Los números que tienen una raíz cuadrada exacta se llaman cuadrados perfectos.

Cálculo de raíces cuadradas con decimales sin calculadora.

Para calcular raíces cuadradas con decimales, seguimos el procedimiento que explico es el siguiente vídeo. Con este método puedes obtener todos los decimales que necesites para tus cálculos.

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