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05/04/2017

T04 – Fracciones

Introducción

Si queremos repartir 5 pasteles entre dos clases de alumnos a partes iguales, el resultado no se puede expresar con números enteros que hemos estudiado anteriormente. Para poder expresar el resultado necesitamos un nuevo tipo de números: las fracciones.

Vemos por tanto que no siempre la división de números enteros tiene solución en el conjunto de los números enteros (\displaystyle \mathbb{Z}). Por ello, es necesario crear un nuevo conjunto de números que permitan dar solución al problema planteado.

Los nuevos números serán de la forma \frac{a}{b}, con a y b pertenecientes a \displaystyle \mathbb{Z} . Observemos que a (llamado numerador) puede ser cualquier número de \displaystyle \mathbb{Z}. Sin embargo, b (llamado a su vez denominador) puede ser cualquier número de \displaystyle \mathbb{Z} excepto el 0 (recuerda que no se puede dividir entre cero). Por tanto, tenemos:

\frac{a}{b} donde \displaystyle a \in \mathbb{Z} \displaystyle b \in \mathbb{Z}-\left \{ 0 \right \}

En una fracción, el denominador nos indica en cuántas partes iguales estamos dividiendo una realidad. El numerador nos indica con cuántas de esas partes nos quedamos.

Usos de las fracciones

Podemos utilizar las fracciones para tres usos:

  1. Expresar una división: por ejemplo, \frac{3}{4} = 0,75
  2. Para expresar partes de un todo: “Ya he pagado \frac{1}{3} del préstamo del coche.”
  3. Para expresar partes de una cantidad: “Nos hemos comido \frac{1}{4} de un kilogramo de queso.”

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentesLas fracciones sirven para representar los números racionales (\displaystyle \mathbb{Q}). Varias fracciones representan a un mismo número racional. Veamos un ejemplo:

La imagen de la izquierda representa una de cuatro partes, es decir, \frac{1}{4} del total. La imagen de la derecha representa 2 partes de 8, es decir, \frac{2}{8}. Estas dos fracciones son equivalentes, ya que representan la misma cantidad. Está claro que si nos comemos \frac{1}{4}  de una pizza, comemos lo mismo que si nos dan \frac{2}{8} de la misma.

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Para saber si dos fracciones son equivalentes podemos hacer su producto en cruz:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} si se cumple que a \cdot d = b \cdot c

Amplificar fracciones

Podemos calcular fracciones equivalentes a una dada multiplicando el numerador y el denominador de la fracción original por un número distinto de cero. Amplificar una fracción, nos da una fracción equivalente a la primera, pero con números más grandes. Se suele usar mucho para comparar fracciones y en la suma y la resta

\frac{3}{5} = \frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}= \frac{24}{40}

Simplificar fracciones

Hemos visto que un número racional se puede representar mediante varias fracciones equivalentes. Podemos buscar, para cada número raciona, el representante más sencillo, que llamaremos fracción irreducible. Es decir, buscar para cada número racional la fracción más sencilla que lo representa.

Veamos un ejemplo de simplificación de fracciones:

\frac{45}{60} = \frac{45:5}{60:5}= \frac{9}{12}

Estas dos fracciones son equivalentes, aunque la segunda tiene unos números menores en el numerador y el denominador.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, es decir, si son primos entre sí o primos relativos.

Hay varios métodos para calcular la fracción irreducible.

Método del MCD

Consiste en dividir el numerador y el denominador entre su máximo común divisor. Es decir, dada la fracción, su fracción irreducible se calcula así:

\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a: MCD(a,b)}{b: MCD(a,b)}

Ejemplo: Encontrar una fracción irreducible equivalente a $latex \displaystyle \frac{24}{30}

Este método es sencillo de entender, pero el cálculo del MCD puede ser laborioso.

Método de los factores comunes

Consiste en:

  • Descomponer el numerador y el denominador de las fracciones en factores primos.
  • Eliminamos los factores comunes repetidos.

En este vídeo, te mostramos cómo simplificar fracciones muy rápido con este método.

Reducir fracciones a común denominador

Otra aplicación de la propiedad anterior es obtener fracciones equivalentes a otras dadas, con el mismo denominador. Para ello, buscaremos el mínimo común múltiplo de los dos denominadores dados. Este será el denominador común más pequeño. A continuación ajustaremos los nuevos numeradores de forma que resulten fracciones equivalentes:

Ejemplo: Reducir a mínimo común denominador las fracciones \displaystyle \frac{2}{3}\displaystyle \frac{4}{5}

Si queremos reducirlas a mínimo común denominador calculamos el mcm de 3 y 5, que es 15. Éste es el nuevo denominador, luego tenemos \frac{-}{15} y \frac{-}{15}. Los nuevos numeradores se obtienen dividiendo el nuevo denominador por el denominador original y multiplicándolo por el numerador original:

Así, para la primera fracción: 15:3 = 5. Ahora multiplicamos 5 por el antiguo numerador: 5·2 = 10 con lo que la fracción primera queda:

\displaystyle \frac{10}{15}

De forma análoga, procedemos para la segunda fracción. Se divide el mcm calculado, recordemos que era 15, por el denominador de esta segunda fracción: 15:5 = 3. Ahora, se multiplica el 3 por el numerador antiguo: 3·4 = 12, con lo que la fracción segunda quedaría así:

\displaystyle \frac{12}{15}

De esta forma conseguimos dos fracciones equivalentes a las dadas pero con igual denominador.

\displaystyle \frac{2}{3}; \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{10}{15}; \frac{12}{15}

A continuación te presentamos otro ejemplo de dos fracciones equivalentes (representan al mismo número racional):

Fracciones equivalentes

Podemos ver por los dibujos que las dos fracciones representan el mismo número.

  • Prueba a dividir el numerador y el denominador de por 3. ¿Qué pasa?
  • Intenta reducir a común denominador las dos fracciones, ¿qué observas?
  • Realiza el siguiente producto en cruz:Regla del producto en cruz para comprobar si dos fracciones son equivalentes.
  • Por último, divide 2 entre 5. Después divide 6 entre 15. ¿Cómo son los dos resultados?

Clasificación de las fracciones

Aplicando la propiedad de la pregunta anterior, es fácil comprender que toda fracción tiene una equivalente con denominador positivo. Sólo es necesario multiplicar numerador y denominador por -1.

Ejemplos:

  • \displaystyle \frac{2}{-3} es equivalente a \displaystyle \frac{-2}{3}
  • \displaystyle \frac{-4}{-9} es equivalente a \displaystyle \frac{4}{9}

Siendo positivo el denominador, podemos clasificar los números racionales en:

  • Positivos: aquellos que tienen también el numerador positivo,
  • Negativos: aquellos que tienen el numerador negativo.

Entre ellos está el cero, que, recordemos, es aquel cuyas fracciones tienen todas cero por numerador. \displaystyle 0=\frac{0}{1}=\frac{0}{2}=\frac{0}{3}=...

Ordenación y comparación de las fracciones

De dos fracciones con denominador positivo,

  • Si tienen igual denominador, es mayor la fracción que tenga mayor numerador.
  • Si no tienen igual denominador, buscamos otras dos fracciones equivalentes a las primeras, pero que tengan igual denominador y aplicamos el criterio anterior.

En general, podemos decir que:

  • Toda fracción positiva es mayor que toda fracción negativa.
  • Toda fracción positiva es mayor que 0.
  • Toda fracción negativo es menor que 0.
  • De dos fracciones positivas, es mayor la que tenga mayor valor absoluto.
  • De dos fracciones negativas, es mayor la de menor valor absoluto.

Veamos un ejemplo, ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

\displaystyle \frac{-2}{3}; \frac{2}{5}; \frac{5}{6}; \frac{2}{3}

La primera de ellas, al ser la única negativa, seguro que es la menor.

Para comparar las otras dos, calculamos otras tres fracciones equivalentes a las primeras, pero con el mismo denominador.

Primero, calculamos el mcm de sus denominadores que es 30.

Después, escribimos las tres fracciones, pero con 30 en el denominador:

\displaystyle \frac{}{30}; \frac{}{30}; \frac{}{30}

y ajustamos los numeradores:

\displaystyle  \frac{2}{5}; \frac{5}{6}; \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{12}{30}; \frac{25}{30}; \frac{20}{30}

De estas tres, la menor es la primera, luego \displaystyle \frac{2}{5} es la menor de la tres.

Ya tenemos \displaystyle \frac{-2}{3} < \frac{2}{5} y nos faltan las dos últimas.

Entre \displaystyle \frac{25}{30}; \frac{20}{30} la menor es la segunda, luego \displaystyle \frac{2}{3} será la siguiente menor:

\displaystyle \frac{-2}{3} < \frac{2}{5}< \frac{2}{3}

Y, \displaystyle \frac{5}{6} será la mayor de todas:

\displaystyle \frac{-2}{3} < \frac{2}{5}< \frac{2}{3}< \frac{5}{6}

Representación gráfica de las fracciones en la recta

Representaremos las fracciones sobre una recta de forma parecida a como lo hacíamos con los números enteros, en la que tomaremos como punto de referencia el cero. A la derecha representaremos los positivos y a la izquierda los negativos:

Representación de fracciones en la recta.

Observemos que en dicha recta, sólo hemos representado hasta ahora números enteros. Para representar el resto de los números racionales que corresponden a los cocientes de fracciones no exactos, dividimos el segmento de longitud unidad en n partes (siendo n el denominador de la fracción) y cogiendo, a continuación, tantas como indique el numerador.

Veamos un ejemplo: representa \frac{1}{3} en la recta.

Dividimos la unidad en 3 partes (según lo indica el denominador):

Dividimos la recta en tres partes

Y ahora tomamos tantas como indica el numerador, es decir, 1:

Un tercio representado en la recta.

Si la fracción a representar es \frac{2}{3}, tomamos  2 partes:Fracción dos tercios representada en la recta

Si el numerador es mayor que el denominador, observamos que su representación supera la unidad, por ejemplo, \frac{4}{3}:

Fracción cuatro tercios representada en la recta.

Los números racionales negativos se representan de igual forma, pero dividiendo la unidad a la izquierda del cero.

Ejercicios resueltos de fracciones

El siguiente documento contiene ejercicios resueltos paso a paso sobre:

  • Fracciones equivalentes.
  • Simplificación y fracciones irreducibles
  • Comparación y ordenación de fracciones.
  • Reducción a mínimo común denominador.
  • Representación en la recta.

Puedes descargarlo para practicar estos conceptos de Matemáticas en casa.

Descargar (PDF, Desconocido)

Suma y resta de fracciones

En esta entrada de LeccionesDeMates.com te ofrecemos los apuntes, vídeos y ejercicios resueltos de la suma y resta de fracciones.

Producto y división de fracciones

En construcción.

Operaciones combinadas de fracciones.

El orden correcto en el que debemos resolver operaciones combinadas de fracciones es el siguiente:

  • Operaciones que haya dentro de los paréntesis.
  • Multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, de izquierda a derecha.
  • Sumas y restas.

Aquí tienes ejercicios resueltos de cuentas con fracciones.

 

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