Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ejercicios de Pirámides
Área y elementosVídeo volumen

Pirámide

“En este artículo, vamos a repasar ejercicios resueltos área y volumen de pirámides. Las pirámides son una familia de los poliedros que tienen una cara llamada base y las caras laterales son triángulos que confluyen en un punto llamado vértice o cúspide de la pirámide

Recuerda:

    • Área de una pirámide:
      Atotal=Abase+Alateral
    • Área de una pirámide regular:
      Aregular=p2·ap+Ap

       donde ap es la apotema de la base, Ap es la apotema de la pirámide (también llamada altura lateral) y i es el perímetro de la base

    • Volumen:
      V=13·Abase·h=Abase·h3

      donde h es la altura de la pirámide.

Desarrollo plano de una pirámide

Si dibujamos las caras de una pirámide en 2D obtenemos su desarrollo plano. La superficie  ocupada por esta figura nos  permite calcular el área total de una pirámide. En la imagen, podéis ver el desarrollo plano de la pirámide regular pentagonal de arriba.
d

Matemáticas 2º de ESO

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Aunque en 1º de ESO se introduce el tema de los cuerpos geométricos y estudiamos los elementos de una pirámide, es en 2º y 3º de ESO cuando realizamos ejercicios de áreas y volúmenes de pirámides.

Ejercicio pirámides 1

Calcula el área total y el volumen de estas pirámides.

Pirámide regular cuadrangular - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides
Datos:
Lado de la base = 3 cm

Altura de la pirámide = 5 cm

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides. (SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio 24).

Solución ejercicio pirámides resuelto 1

1) Calculamos el área total de la pirámide Como se trata de una pirámide regular podemos usar la fórmula:

Atotal=p2·ap+Ap

Como la base es un cuadrado, la apotema de la base será la mitad del lado, por tanto,

ap=32=1,5 cm

Para calcular la apotema de la pirámide, podemos utilizar que la altura, la apotema de la base y la apotema de la pirámide forman un triángulo rectángulo y usar el teorema de Pitágoras:
Triángulo rectángulo formado por la altura, la apotema de la base y la apotema de la pirámide - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ap2 = h2+ap2
Ap2 = 52+1,52 Ap2 = 25+2,25
Ap2 = 27,25
Ap2 = 27,255,22 cm

Para calcular el perímetro de la base multiplicamos lo que mide un lado por el número de lados (4):

P=n·l = 4·3=12 cm

Volvemos a la fórmula general,

Atotal=p2·ap+Ap
Atotal=122·1,5+5,22
Atotal=6·6,72
Atotal=40,32 cm2

2) Calculamos el volumen de la pirámide: La fórmula general es:

V=Abase·h3

Vamos a calcular el área de la base que es el área de un cuadrado:

Abase=l2=32=9 cm2

Sustituimos los datos en la fórmula:

V=Abase·h3=9·53=3·5=15 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 2

Calcula el área y volumen de esta pirámide:

 Pirámide triangular regular de lado 6 y altura 8 cm - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

(SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio 24b).

Solución ejercicio pirámide resuelto 2

1) Calcula el área total:

Como la base es un triángulo equilátero, la base se trata de un polígono regular. Por tanto, podemos usar la fórmula de las pirámides regulares:

At=p2·(ap+Ap)

Procedemos a calcular el perímetro:

P=n·l=3·6=18 cm

Para calcular la apotema de la base, usamos la siguiente fórmula:

ap=36·l

Como el lado mide 6:

ap=36·6=31,73cm

Para calcular la apotema de la pirámide, usamos el teorema de Pitágoras:

Ap2=h2+apbase2
Ap2=82+1,732
Ap2=64+3
Ap2=67
Ap=678,19cm

Volviendo a la fórmula de las pirámides regulares:

At=p2·(ap+Ap)
At=182·(1,73+8,19)
At=9·(9,92)=89,28 cm2

2) Calcula el volumen de la pirámide:

Utilizamos la fórmula del volumen de una pirámide:

V=Abase·h3

La base es un triángulo, así que podemos calcular su área mediante:

Atriángulo=b·h2

La base es la longitud del lado = 6 cm, pero la altura tenemos que calcularla mediante el teorema de Pitágoras:

Altura de un triángulo equilátero - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides
62=h2+32
36=h2+9
h2=27
h=275,2 cm

Ahora que tenemos la altura del triángulo que forma la base, calculamos su área:

Atriángulo=6·5,22=31,22=15,6cm2

Con el área, sustituimos en la fórmula del volumen de la pirámide:

V=15,6·83=124,83=41,6cm3

Ejercicio pirámides resuelto 3

Calcula el área total y el volumen de esta pirámide
Desarrollo plano de una pirámide pentágona regular - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides
Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides (SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio 25).

Solución ejercicio pirámides resuelto 3

1) Calculamos el área total de la pirámide

Como las dos apotemas son datos del problema, sólo necesitamos calcular el perímetro de la base. Al ser un pentágono regular, los 5 lados miden igual:

P=n·l=5*5=25 cm

El área de una pirámide regular se calcula con la siguiente fórmula:

Atotal=p2·ap+Ap

Sustituimos los datos que tenemos en la fórmula:

Atotal=252·3,4+10

Y realizamos los cálculos, primero la suma del paréntesis.

Atotal=252·13,4
Atotal=167,5 cm2

2) Calculamos el volumen

2.1) Área de la base

La base de la pirámide es un pentágono regular, por tanto, podemos usar dicha fórmula para calcular su área.

Abase=p·ap2

Sustituimos los valores en la fórmula.

Abase=25·3,42

Y realizamos los cálculos.

Abase=42,5 cm2
2.2) Altura de la pirámide

Como las dos apotemas son datos del problema, podemos calcular la altura de la pirámide recordando que estas tres medidas forman un triángulo rectángulo donde la apotema del a pirámide es la hipotenusa.

Ap2=h2+ap2
102=h2+3,42
100=h2+11,56
h=88,449,40 cm

Ahora, tenemos todos los datos necesarios:

V=Abase·h3

Sustituimos los valores del área de la base y la altura en la fórmula del volumen de la pirámide.

V=42,5·9,43

Realizando los cálculos obtenemos el resultado final:

V=133,17 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 4

Calcula el área total y el volumen de esta pirámide.

Pirámide cuadrangular regular - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

(SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio 70).

Solución ejercicio de pirámides resuelto 4

1) Calculamos el área total de la pirámide

Los datos son la longitud del lado de la base (5 cm) y la altura de la pirámide (8 cm). Como se trata de una pirámide regular, usaremos la fórmula.

1.1) Cálculo del perímetro de la base

Como la base es un cuadrado, el perímetro se calcula multiplicando lo que mide un lado por el número de lados:

P=n·l=4·5 = 20 cm
1.2) Cálculo de la apotema de la base

Como la base es un cuadrado, la apotema de la base de la pirámide mide la mitad de un lado, es decir, 2,5 cm.

1.3) Cálculo de la apotema de la pirámide

Las dos apotemas y la altura de la pirámide forman un triángulo rectángulo donde la apotema que queremos hallar es la hipotenusa. Podemos usar el teorema de Pitágoras para averiguar la longitud desconocida.

Ap2=h2+ap2
Ap2=82+2,52
Ap2=64+6,25
Ap2=70,25
Ap=70,258,38 cm

Aplicamos ahora la fórmula del área de una pirámide regular:

Atotal=p2·ap+Ap
Atotal=202·2,5+9,38
Atotal=202·11,88
Atotal=10·11,88
Atotal=118,8 cm2

2) Calculamos el volumen de al pirámide

2.1) Cálculo del área de la base de la pirámide

La base es un cuadrado por lo que calculamos así su área.

Abase=l2=52=25 cm2

El volumen de la pirámide se calcula con la fórmula correspondiente:

V=Abase·h3
V=25·83=200366,67 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 5

Calcula el área total y el volumen de la siguiente pirámide

Pirámide triangular ejercicio 70 - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides. (SM Savia 1º de ESO, tema 11 – ejercicio 70b).

Solución ejercicio pirámides resuelto 5

1) Calcula el área:

En este caso vamos a calcular el área de la base y sumarlo con el área lateral.

Abase=b·h2

La base del triángulo es 6 cm (un dato del problema), pero desconocemos la altura de la base. Para calcularla, usamos el teorema de Pitágoras.

Calcular la altura de un triángulo equilátero

62=h2+32

donde realizamos las potencias

36=h2+9

y despejamos la incógnita:

ap=5,231,73 cm

h2=27 h=275,2 cm

Conocida la altura de la base (h) usamos la fórmula del área:

Abase=6·5,22=3·5,2=15,6 cm2

El área lateral se calcula multiplicando el área de una cara lateral por el número de caras laterales (n). La altura de una cara lateral coincide con la apotema de la pirámide:

Alateral=n·l·Ap2

donde n·l es el perímetro de la base de la piramide.

Alateral=p·Ap2=18·122=9·12=108 cm2

Podemos sumarlo todo:

Atotal=Abase+Alateral=15,6+108=123,6 cm2

2) Calcular el volumen de la pirámide triangular:

Usamos la fórmula:

V=Abase·h3

donde ya tenemos calculada el área de la base del apartado anterior

Abase=15,6 cm2

El problema lo tenemos para calcular la altura h de la pirámide, ya que no tenemos tampoco la apotema de la base.

Podemos recordar que en un triángulo equilátero,

ap=r2

pero desconocemos el radio. Lo podemos calcular mediante la fórmula:

r=2h3

Sustituyendo:

ap=r2=2h32=h3

y, como conocemos la altura del apartado anterior:

ap=h3=5,231,73 cm

Ahora, podemos calcular la altura de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras.

Triángulo rectángulo

donde la apotema de la pirámide mide 12 y la apotema de la base la acabamos de calcular.

122=h2+1,732

Elevamos los números 

144=h2+3

restamos 3 en los dos miembros de la ecuación,

h2=141

despejamos h

h=14111,87 cm

Una vez conocida la altura de la pirámide, usamos fórmula del volumen

V=Abase·h3=15,6·11,87361,72 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 6

Calcula el volumen de una pirámide de altura 3 cm cuya base es un cuadrado de lado 4 cm.

(SM Savia 1º de ESO, tema 11 – ejercicio 71).

Solución ejercicio pirámides resuelto 6

Calcula el volumen de una pirámide de altura 3 cm cuya base es un cuadrado de lado 4 cm.

La fórmula del volumen de una pirámide es:

V=Abase·h3

Como la base es un cuadrado podemos calcular su área como

A=l2=42=16 cm2

y como la altura (h) es un dato, directamente:

V=16·33=16 cm3

 

 

Ejercicio de pirámides resuelto 7

Dibuja una pirámide regular con base un cuadrado de lado 6 cm y de altura 4 cm.

    1. Dibuja su desarrollo plano indicando las dimensiones del mismo.
    2. Calcula el área lateral y  total.
    3. Calcula su volumen.

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides. (SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio 73).

Solución ejercicio pirámides resuelto 7

Dibuja una pirámide regular con base un cuadrado de lado 6 cm y de altura 4 cm.

    1. Dibuja su desarrollo plano indicando las dimensiones del mismo.
    2. Calcula el área lateral y  total.
    3. Calcula su volumen.

1) Desarrollo plano

La pirámide corresponde con el siguiente dibujo:

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

2a) Área lateral

Calculamos área lateral hallando el área de una de las caras laterales y multiplicándola por cuatro.

Atriángulo=b·h2

En este caso, la base (b) del triángulo coincide con el lado de la base (l) y la altura del triángulo (h) es la apotema de la pirámide (Ap). Para calcular la apotema de la pirámide, tenemos que usar el teorema de Pitágoras.

Triángulo rectángulo - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ap2=ap2+h2

donde la apotema de la base es la mitad del lado porque se trata de una base con forma de cuadrado y la altura de la pirámide es un dato del problema.

Ap2=32+42

calculamos las potencias

Ap2=9+16

y sumamos

Ap2=25

para despejar la apotema haciendo la raíz cuadrada

Ap=25=5 cm

Volviendo al cálculo del área de una cara,

Atriángulo=b·h2=l·Ap2=6·52=302=15 cm2

Como tenemos 4 caras iguales,

Alateral=4·Acara=4·15=60 cm2

También se podría haber usado la fórmula del área lateral de las pirámides regulares:

Alateral=p·Ap2=24·52=12·5=60 cm2

donde hemos calculado el perímetro como

p=n·l =4·6=24 cm

2b) Área total de la pirámide

Como ya tenemos el área lateral, sólo nos falta calcular el área de la base para obtener el área de total de la pirámide:

Como la base es un cuadrado,

Abase=l2=62=36 cm2 Atotal=Abase+Alateral=36+60=96 cm2

Si hubiéramos optado por usar la fórmula del área total de las pirámides regulares:

A=p2·(Ap+ap)=242·(3+5)=12·8=96 cm2

que obviamente es el mismo resultado.

3) Volumen de la pirámide

Tenemos ya todos los datos necesarios:

V=Abase·h3=36·43=12·4=48 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 8

Paula ha calculado el volumen de la pirámide que se construye a partir del desarrollo plano que aparece a continuación.

Desarrollo plano pirámide cuadrangular - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

V=Abase·h3=42·5,253=16·5,253=843=28 cm3

(SM Savia 2º de ESO, tema 21 – ejercicio 106).

Solución ejercicio pirámides resuelto 8

El error de Paula es confundir la altura de la pirámide con la apotema de la pirámide. En el desarrollo plano, aparece la apotema de la pirámide con una longitud de 5,25 cm, pero este dato no es la altura de la pirámide que debemos calcular mediante el teorema de Pitágoras:

Ap2=h2+ap2

de donde conocemos la apotema la pirámide (5,25 cm) y la apotema de la base que es 2 (al ser  una base cuadrada es la mitad del lado).

5,252=h2+22

calculamos las potencias

27,5625=h2+4

despejando

h=23,56254,85 cm

Por tanto, el volumen de la pirámide será

V=Abase·h3=16·4,853=77,63=25,87 cm3

Ejercicio pirámides resuelto 9

La pirámide de la figura tiene por base un cuadrado de lado 2 cm y los triángulos que forman las cuatro caras laterales son equiláteros.

Pirámide cuadrangular de base cuadrada de 2 cm y caras laterales triángulos equiláteros - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

  1. Halla la altura h de cada una de las caras laterales.
  2. Halla la altura H de la piramide.
  3. Calcula el área de la pirámide.
  4. Calcula el volumen.

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides. (SM Savia 2º de ESO, tema 11 – ejercicio autoevaluación 5).

Solución ejercicio pirámides resuelto 9

a) Calcula la altura h de las caras laterales

Como las caras laterales son triángulos equiláteros, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular su altura h.

Triángulo equilátero de lado 2 cm

22=h2+124=h2+1h2=3h=31,73 cm

b) Calcular la altura H de la pirámide

La altura (H) de la pirámide, la apotema de la base y apotema de la pirámide (h) forman un triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo

donde la apotema de la base es la mitad del lado de la base (porque se trata de un cuadrado, por tanto, 1 cm), la apotema de la pirámide coincide con la altura h de las caras laterales (1,73 cm) y la altura de la pirámide es el cateto mayor:

h2=H2+ap21,732=H2+123=H2+1H2=2H=21,41 cm

c) Área de la pirámide

Como se trata de una pirámide regular podemos usar la fórmula

A=p2·(ap+Ap)

donde

p=n·l=4·2= 8 cm A=82·(1+1,73)=4·2,73 =10,92 cm2

d) Volumen de la pirámide

V=Abase·h3=22·1,413=1,88 cm3

d

Matemáticas 3º de ESO

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

En 3º de ESO sólo se amplía dificultad respecto a los ejercicios de 2º de ESO introduciendo los troncos de pirámide.

Ejercicios pirámides resueltos 1

Halla el área total y el volumen del siguiente poliedro

Pirámide pentagonal de 10 cm de lado de la base - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámidesEjercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides. (SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 9 – ejercicio 36a).

Solución ejercicios pirámides resueltos 1

1) Calcula el área total

Usamos la fórmula

Atotal=p2·(ap+Ap)

en la que debemos calcular el perímetro p.

P=n·l=5·10=50 cm

La apotema de la base es 6.88 cm y la apotema de la pirámide es 12 cm:

Atotal=502·(6,88+12)=25·18,88=472 cm2

2) Calcular el volumen

Podemos usar la fórmula

V=Abase·h3

2.1) Área de la base

Como la base es un pentágono regular, usamos la fórmula de los polígonos regulares:

Abase=p·ap2=50·6,882=25·6,88=172 cm2

2.2) Calcular la altura de la pirámide

Utilizamos el teorema de Pitágoras,

Triángulo rectángulo

122=h2+6,882

Calculamos los cuadrados

144=h2+47,33

restamos 47,33 en los dos términos de la ecuación

h2=96,67

y hacemos la raíz cuadrada.

h=96,679,83 cm

Volviendo a la fórmula del volumen de la pirámide 

V=172·9,833=563,59 cm3

Ejercicios pirámide resueltos 2

Calcula el área total y el volumen de estos poliedros:

c) Una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm y altura 10 cm  (SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 9 – ejercicio 37c).

Solución ejercicios pirámide resueltos 2

1) Calcula el área total de la pirámide

Primero dibujamos la pirámide y escribimos los datos que conocemos

Pirámide cuadrada regular - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Para ello, vamos a utilizar la fórmula de las pirámides regulares:

Atotal=p2·ap+Ap

de la que desconocemos el perímetro y la apotema de la pirámide.

1.1) Calculamos el perímetro 

Como es una base regular, podemos multiplicar lo que mide un lado de la base por el número de lados (4).

p=n·l=4·6=24 cm

1.2) Hallamos la apotema de la pirámide

Triángulo rectángulo - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

En la imagen, podemos observar que la apotema de la pirámide forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la apotema de la base. Como la base es un cuadrado, la apotema de la base se calcula como la mitad del lado:

ap=l2=62=3 cm

y, aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos la apotema de la pirámide:

Ap2=h2+ap2

Ap2=102+32

realizamos las operaciones

Ap2=100+9=109

y despejamos la incógnita

Ap=10910,44 cm

Volviendo a la fórmula del área total,

Atotal=242·3+10,44=12·13,44=161,28 cm2

2) Hallar el volumen de la pirámide

Para poder usar la fórmula

V=Abase·h3

 primera debemos calcular el área de la base:

Abase=l2=62=36 cm2

de donde podemos usar el dato de la altura para completar

V=36·103=12·10=120 cm3

teniendo, así el ejercicio resuelto de área y volumen de esta pirámide.

Ejercicios pirámide resueltos 3

Calcula el volumen de un dado de 8 caras cuya forma es un octaedro regular de 2,8 cm de altura y 1,6 cm de lado

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides  (SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 9 – ejercicio 50).

Solución ejercicios pirámide resueltos 3

1) Dibujamos la figura del problema

Primero dibujamos el octaedro regular que está formado por dos pirámides de base cuadrada

Octaedro regular

1) Calculamos el volumen

Como se observa en la figura, cada pirámide mide de altura la mitad que el octaedro.

h=2,82=1,4 cm

Por ello, el volumen se puede calcular como el doble del volumen de una de las pirámides

Voctaedro=2·Vpirámide=2·Abase·h3

de la que desconocemos el área de la base. Como se trata de un cuadrado:

Abase=l2=1,62=2,56 cm2

y, por tanto,

V=2·2,56·1,432,39 cm3

Ejercicios pirámide resueltos 4

Calcula el área de una pirámide regular de 5 dm de altura cuya base es un tránigáulo equilátero de 5 dm de lado.

Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides  (SM Savia Nueva Generación 3º de ESO, tema 9 – ejercicio 79d).

Solución ejercicios pirámide resueltos 4

1) Dibujamos la figura del problema

Primero dibujamos la pirámide del problema

Pirámide triangular. Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

2) Calculamos el área de la pirámide

La fórmula del área de una pirámide regular es

Atotal=p2·(ap+Ap)

2.1) Calculamos la apotema de la base

Como la base es un triangulo equilátero, podemos usar la fórmula de la apotema conocida la longitud del lado:

ap=3·l6=3·561,73·56=1,44 dm

2.2) Calculamos la apotema de la pirámide

Como se ve en la imagen, podemos calcular la apotema de la pirámide aplicando el teorema de Pitágoras porque conocemos los dos catetos:

Triángulo rectángulo - Ejercicios resueltos de área y volumen de pirámides

Ap2=h2+ap2

Ahora, podemos sustituir los valores que conocemos:

Ap2=52+1,442

Entonces, podemos realizar las potencias

Ap2=25+2,07

Y, por último, despejamos la incógnita

Ap=27,075,2 cm

2.3) Calculamos el perímetro de la base

Como la base es un triángulo equilátero, los tres lados miden lo mismo por lo que podemos calcularlo del siguiente modo:

p=n·l=3·5=15 cm

Ya que tenemos todos los datos necesarios, sustituimos dichos datos en la fórmula del área:

Atotal=152·(1,44+5,2)=7,5·6,64=49,8 cm2

 

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO.  Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

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