Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Ejercicios Resueltos

Teorema de Pitágoras

Aprende practicando

La mejor forma de asentar lo que has aprendido en clase es practicando con más ejercicios. Aquí te ofrezco una colección de ejercicios resueltos sobre el teorema de Pitágoras para que puedas ejercitarte y tomar confianza en tus conocimientos.

Teorema de Pitágoras

“El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

1º de ESO

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

En 1º de ESO se ve por primera vez el teorema de Pitágoras. Es importante comprender qué es y para qué sirve. Después de ver la teoría, puedes utilizar los ejercicios que desarrollamos a continuación para practicar lo que has aprendido. Especialmente, son interesantes los problemas donde utilizamos el Teorema de Pitágoras para calcular medidas de forma indirecta.

Ejercicio resuelto 1

Comprueba si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 13).

a) 25, 24 y 7 mm	b) 12, 15 y 4 mm.
c)8, 15 y 17 mm.	d) 2,5 cm, 10 y 14 mm.

Solución ejercicio resuelto 1a

Si estos tres segmentos forman un triángulo rectángulo tienen que cumplir el teorema de Pitágoras.

El lado más largo será la hipotenusa y los dos más cortos los catetos.

a) 25, 24 y 7 mm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula:

$\displaystyle 25^2=24^2 + 2^2$

$\displaystyle 625= 576 + 4$

$\displaystyle 625 = 580$

Como las expresiones son distintas, no se trata de un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 1b

Si estos tres segmentos forman un triángulo rectángulo tienen que cumplir el teorema de Pitágoras.

El lado más largo será la hipotenusa y los dos más cortos los catetos.

b) 12, 15 y 4 mm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula:

$\displaystyle 15^2=12^2 + 4^2$

$\displaystyle 225= 144 + 16$

$\displaystyle 225 = 160$

Como las expresiones son distintas, no se trata de un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 1c

Si estos tres segmentos forman un triángulo rectángulo tienen que cumplir el teorema de Pitágoras.

El lado más largo será la hipotenusa y los dos más cortos los catetos.

c) 8, 15 y 17 mm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula:

$\displaystyle 17^2=15^2 + 8^2$

$\displaystyle 289= 225 + 64$

$\displaystyle 225 = 289$

Como las expresiones son iguales, sí se trata de un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 1d

Si estos tres segmentos forman un triángulo rectángulo tienen que cumplir el teorema de Pitágoras.

El lado más largo será la hipotenusa y los dos más cortos los catetos.

d) 2,5cm, 10 y 14 mm

En este caso, los primero es pasar todos los datos a la misma unidad:

$\displaystyle 2,5 \cdot 10 = 25$ cm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula:

$\displaystyle 25^2=14^2 + 10^2$

$\displaystyle 625= 196 + 100$

$\displaystyle 625 = 296$

Como las expresiones son diferentes, no se trata de un triángulo rectángulo.

Ejercicio resuelto 3

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 8 cm. Calcula cuánto mide la hipotenusa. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 15).

Solución ejercicio resuelto 3

Sustituimos el valor de los catetos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=8^2 + 5^2$

$\displaystyle x^2 = 64 + 25$

$\displaystyle x^2 = 89$

$\displaystyle x = \sqrt{89}$

$\displaystyle x \approx 9,43$ cm.

Ejercicio resuelto 5

Una torre de 10 m de altura está sujeta por un cable de seguridad fijado al suelo a 5 m de la base de la torre. Calcula la longitud del cable. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 17).

Solución ejercicio resuelto 5

1) Datos: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 17 - Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Tenemos que calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman el suelo, la torre y el cable.

Sustituimos el valor de los catetos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=10^2 + 5^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle x^2 = 100 + 25$

$\displaystyle x^2 = 125$

$\displaystyle x =\sqrt{125}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x\approx 11,18$ m.

Ejercicio resuelto 7

Averigua el lado desconocido de los siguientes triángulos rectángulos. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 61).

Solución ejercicio resuelto 7a

1) Datos: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 61a - Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Tenemos que calcular el cateto mayor dados la hipotenusa del triángulo rectángulo y el otro cateto.

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 38^2=x^2 + 12^2$

3) Resolución del problema:

$\displaystyle 1444= x^2 + 144$

Restamos 144 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle x^2 = 1300$

$\displaystyle x = \sqrt{1300}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x \approx 36,06$ m.

Solución ejercicio resuelto 7b

1) Datos SM Savia Tema 13 - Ejercicio 61b - Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Tenemos que calcular la hipotenusa conocidos los dos catetos del triángulo rectángulo.

La hipotenusa siempre está frente al ángulo de 90º y es el lado mayor.

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=27^2 + 23^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle x^2 = 729 + 529$

$\displaystyle x^2 = 1258$

$\displaystyle x = \sqrt{1258}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x \approx 35,47$ m.

Ejercicio resuelto 10

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo si los cuadrados que se construyen sobre los catetos tienen áreas de 9 y 16cm2. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 65).

Solución ejercicio resuelto 10

1) Datos SM Savia Tema 13 - Ejercicio 65 - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Como nos dan las áreas de los cuadrados formados por el cateto mayor (área verde) y el cateto menor (área roja), podemos usar la fórmula del teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa.

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle h^2=16 + 9$

3) Resolución del problema

$\displaystyle h^2 = 25$

$\displaystyle h = \sqrt{25}$

$\displaystyle h = 5$

4) Solución del problema: La hipotenusa del triángulo rectángulo mide 5 cm.

Ejercicio resuelto 12

Un círculo, cuyo radio mice 1 cm, está inscrito en un cuadrado , y éste, a su vez, está inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide el radio de éste último círculo?. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 67). SM Savia Tema 13 - Ejercicio 67datos - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

SM Savia Tema 13 - Ejercicio 67datos - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

Solución ejercicio resuelto 12

1) Datos SM Savia Tema 13 - Ejercicio 67 - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Como el radio del círculo rojo mide 1 cm, su diámetro medirá el doble, es decir, 2 cm.

Dicho diámetro mide lo mismo que el lado del cuadrado, es decir, 2 cm: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 67b - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras Si trazamos la diagonal del cuadrado azul, podemos formar un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa sería dicha diagonal y cuyos catetos serían dos de los lados del cuadrado: Los lados QR y PR miden 2 cm (igual que el diámetro del círculo rojo).

Podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa que será el diámetro del círculo mayor (verde).

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle h^2=2^2 + 2^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle h^2 = 4+4$

$\displaystyle h^2 = 8$

$\displaystyle h = \sqrt{8}$

$\displaystyle h \approx 2,83$

4) Solución del problema:

Como el radio es la mitad del diámetro de una circunferencia, nos basta con dividir entre 2 el resultado anterior:

$\displaystyle radio = \frac{2,83}{2}=1,42 cm$

Ejercicio resuelto 2

Calcula la medida del lado desconocido de los siguientes triángulos rectángulos. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 13).

SM Savia Tema 13 - Ejercicio 14b - Teorema de Pitágoras

Solución ejercicio resuelto 2a

SM Savia Tema 13 - Ejercicio 14a - Teorema de Pitágoras

Como se trata de un triángulo rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras.

El lado desconocido es la hipotenusa (porque está frente el ángulo recto) y los dos que sí conocemos serán los catetos.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula:

$\displaystyle x^2=19^2 + 9^2$

$\displaystyle x^2= 361 + 81$

$\displaystyle x^2=442$

$\displaystyle x=\sqrt{}{442}$

$\displaystyle x \approx 21,02$ cm

Solución ejercicio resuelto 2b

Como se trata de un triángulo rectángulo, debe cumplir el teorema de Pitágoras. El lado desconocido es el cateto mayor, la hipotenusa mide 9 y el otro cateto es el que queremos identificar.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

Si sustituimos los datos del ejercicio en la fórmula: $\displaystyle 9^2=7^2 + x^2$

$\displaystyle 81= 49 + x^2$

Restando 49 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle 32=x^2$

Dando la vuelta a la fórmula:

$\displaystyle x^2=32$

$\displaystyle x=\sqrt{}{32}$

$\displaystyle x \approx 5,66$ cm

Ejercicio resuelto 4

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 cm. Uno de los catetos mide 15 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 16).

Solución ejercicio resuelto 4

Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto que falta.

Sustituimos el valor de los catetos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 17^2=15^2 + x^2$

$\displaystyle 289 = 225 + x^2$

Si restamos 225 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle 64 = x^2$

$\displaystyle x = \sqrt{64}$

$\displaystyle x = 8$ cm.

Ejercicio resuelto 6

Las siguientes medidas corresponden a los lados de algunos triángulos. ¿Cuáles son rectángulos?(SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 60).

a) 22 m, 17 m, 10 m

b) 12 cm, 35 cm, 37 cm

c) 25 cm, 28 cm, 32 cm

d) 40 cm, 41 cm, 9 cm

Solución ejercicio resuelto 6a

Cuando los tres segmentos formen un triángulo rectángulo, deberán cumplir el teorema de Pitágoras.

Por tanto, si sustituimos los datos en la fórmula podemos ver si se trata de un triángulo rectángulo.

Si la fórmula da una igualdad, entonces sí se trata de un triángulo rectángulo. Si la fórmula da una desigualdad, entonces, se tratará de otro tipo de triángulo.

El lado más largo siempre corresponde a la hipotenusa y los más cortos a los dos catetos.

a) 22 m, 17 m, 10 m

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 22^2=17^2 + 10^2$

$\displaystyle 484 = 289 + 100$

$\displaystyle 484 \neq 389$

Como se trata de una desigualdad, los tres segmentos no forman un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 6b

En un triángulo rectángulo, el lado más largo siempre corresponde a la hipotenusa y los más cortos a los dos catetos.

b) 12 cm, 35 cm, 37 cm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 37^2=35^2 + 12^2$

$\displaystyle 1369 = 1225 + 144$

$\displaystyle 1369 = 1369$

Como se trata de una igualdad, los tres segmentos sí forman un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 6c

En un triángulo rectángulo, el lado más largo siempre corresponde a la hipotenusa y los más cortos a los dos catetos.

c) 25 cm, 28 cm, 32 cm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 32^2=28^2 + 25^2$

$\displaystyle 1024 = 784 + 625$

$\displaystyle 1024 \neq 1409$

Como se trata de una desigualdad, los tres segmentos no forman un triángulo rectángulo.

Solución ejercicio resuelto 6d

En un triángulo rectángulo, el lado más largo siempre corresponde a la hipotenusa y los más cortos a los dos catetos.

d) 40 cm, 41 cm, 9 cm

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 41^2=40^2 + 9^2$

$\displaystyle 1681 = 1600 + 81$

$\displaystyle 1681 = 1681$

Como se trata de una igualdad, los tres segmentos sí forman un triángulo rectángulo.

Ejercicio resuelto 8

Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 15 m, y el lado desigual, 9 m(SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 62).

Solución ejercicio resuelto 8

1) Datos M Savia Tema 13 - Ejercicio 63 - Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

Tenemos que calcular el cateto mayor (altura) del triángulo rectángulo que forman uno de los lados iguales del triángulo isósceles y la mitad de su base: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 63b - Teorema de Pitágoras Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 15^2=x^2 + 4,5^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle 225 = x^2 + 20,25$

Si restamos 20,25 en los lados de la fórmula:

$\displaystyle x^2 = 204,75$

$\displaystyle x = \sqrt{204,75}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x \approx 14,31$ m.

Ejercicio resuelto 9

Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado l= 7 cm. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 64).

Solución ejercicio resuelto 9

1) Datos SM Savia Tema 13 - Ejercicio 64 - Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema: Tenemos que calcular el cateto mayor (altura) del triángulo rectángulo que forman uno de los lados iguales del triángulo isósceles y la mitad de su base: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 64b - Teorema de Pitágoras

SM Savia Tema 13 - Ejercicio 64b - Teorema de Pitágoras

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 7^2=x^2 + 3,5^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle 49 = x^2 + 12,25$

Si restamos 12,25 en los lados de la fórmula:

$\displaystyle x^2 =36,75$

$\displaystyle x = \sqrt{36,75}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x \approx 6,06$ m.

Ejercicio resuelto 11

Calcula el perímetro del cuadrado rojo, sabiendo que el lado del cuadrado mayor mide 4 cm. (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 66).

Solución ejercicio resuelto 11

1) Datos SM Savia Tema 13 - Ejercicio 66a - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento del problema:

La mitad del lado del cuadrado naranja mide 2cm. Esta longitud forma un triángulo rectángulo isósceles donde la hipotenusa es el lado del cuadrado rojo.

Cuando calculemos dicha longitud, únicamente tenemos que multiplicarla por 4 para obtener le perímetro (en un cuadrado, los 4 lados miden lo mismo). SM Savia Tema 13 - Ejercicio 66b - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=2^2 + 2^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle x^2 = 4 + 4$

$\displaystyle x^2 =8$

$\displaystyle x = \sqrt{8}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x \approx 2,83$ m.

Para calcular el perímetro:

$\displaystyle P = 4 \cdot x = 2,83 \cdot 4 = 11,32$ m.

Ejercicio resuelto 13

Los radios de las circunferencias de la figura son 1 cm y 4 cm y el segmento PQ es tangente a ambas circunferencias. ¿Cuál es su longitud (SM Savia 1º de ESO, tema 13 – ejercicio 120).

Solución ejercicio resuelto 13

1) Datos Dibujamos los radios de las dos circunferencias: SM Savia Tema 13 - Ejercicio 120 con radios- Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

SM Savia Tema 13 - Ejercicio 120 con radios- Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

Dibujamos la paralela al segmento PQ que pasa por el centro de circunferencia pequeña.

Este nuevo segmento RS de color rojo tiene la misma longitud. SM Savia Tema 13 - Ejercicio 120paralela - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras Construimos, ahora, un triángulo rectángulo entre los puntos A, S y R y lo coloreamos en color verde. El lado SA mide 5 cm porque es la suma de los radios de las circunferencias. El lado AR mide 3 cm porque resulta de restarle al radio mayor (QA = 4 cm) el radio menor (QR = PS = 1 cm). SM Savia Tema 13 - Ejercicio 120medidas2 - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras 2) Planteamiento del problema:

Ahora, resolvemos el problema de la longitud del segmento PQ calculando el segmento RS que es el cateto mayor del triángulo rectángulo de color verde de la figura.

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 5^2=x^2 + 3^2$

3) Resolución del problema

$\displaystyle 25 = x^2 + 9$

Restamos 9 en los dos lados de la fórmula.

$\displaystyle x^2 =16$

$\displaystyle x = \sqrt{16}$

4) Solución del problema:

$\displaystyle x = 4$ cm.

2º de ESO

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Se repasan ejercicios del curso pasado, se amplía con algunos más difíciles y tenemos ejercicios de clasificación de los triángulos usando el teorema de Pitágoras.

Problema resuelto 1 - 2º de ESO

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 15 cm y uno de los catetos, 12 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 15)

Solución problema resuelto 1 - 2º de ESO

1) Datos: SM Savia Tema 9 - Ejercicio 15 - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento:

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto b que nos falta.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 15^2=b^2 + 12^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 225=b^2 + 144$

Restamos 144 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle b^2 = 81$

$\displaystyle b = \sqrt{81}$

$\displaystyle b = 9$

4) Solución:

El cateto mide 9 cm.

Problema resuelto 3 - 2º de ESO

¿Cuáles de los siguientes tríos de números son ternas pitagóricas? (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 17).

a) 32, 40, 50	c) 15, 20, 25
b) 12, 35, 37	d) 10, 200, 41

Solución problema resuelto 3a - 2º de ESO

1) Datos:

Longitud de los lados: 32, 40, 50.

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 50^2=40^2 + 32^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 2500=1600 + 1024$

$\displaystyle 2500 \neq 2624$

4) Solución:

Como obtenemos una desigualdad, estos tres números no forman una terna pitagórica.

Solución problema resuelto 3b - 2º de ESO

1) Datos:

Longitud de los lados: 12, 35 y 37.

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 37^2=35^2 + 12^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 1369=1225 + 144$

$\displaystyle 1369 = 1369$

4) Solución:

Como obtenemos una igualdad, estos tres números sí forman una terna pitagórica.

Solución problema resuelto 3c - 2º de ESO

1) Datos:

Longitud de los lados: 15, 20 y 25.

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 25^2=20^2 + 15^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 625=400 + 225$

$\displaystyle 625 = 625$

4) Solución:

Como obtenemos una igualdad, estos tres números sí forman una terna pitagórica.

Solución problema resuelto 3d - 2º de ESO

1) Datos:

Longitud de los lados: 10, 200 y 41.

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 200^2=41^2 + 10^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 40000=1681 + 100$

$\displaystyle 40000 \neq 1781$

4) Solución:

Como obtenemos una desigualdad, estos tres números sí forman una terna pitagórica.

Problema resuelto 5 - 2º de ESO

Averigua el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuyo catetos miden 20 cm cada uno. (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 19).

Solución problema resuelto 5 - 2º de ESO

1) Datos:

SM Savia Tema 9 - Ejercicio 19 - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

2) Planteamiento:

Para calcular el perímetro, debemos sumar la longitud de los 3 lados del triángulo. Primero, tenemos que calcular la longitud de la hipotenusa, ya que no nos han dado este dato.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=20^2 + 20^2$

3) Resolución:

$\displaystyle x^2=400 + 400$

$\displaystyle x^2=800$

$\displaystyle x = \sqrt{800}$

$\displaystyle x \approx 28,28$ cm

4) Solución:

Una vez conocidos la longitud de los 3 lados podemos calcular el perímetro del triángulo rectángulo.

$\displaystyle P = 20 + 20 + 28,28 = 68,28$ cm

Problema resuelto 7 - 2º de ESO

Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuánto puede medir el tercer lado para que el triángulo sea obtusángulo? ¿Y para que sea acutángulo?. (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 21).

Solución problema resuelto 7 - 2º de ESO

1) Datos:

Lados conocidos del triángulo: 6 y 10 cm

Lado desconocido x

2) Planteamiento:

Vamos a ver qué tiene que medir el tercer lado para que sea un triángulo rectángulo. Con valores menores será acutángulo y, con valores mayores, será obtusángulo.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=10^2 + 6^2$

3) Resolución:

$\displaystyle x^2=100 + 36$

$\displaystyle x^2=136$

$\displaystyle x = \sqrt{136}$

$\displaystyle x \approx 11,66$ cm

4) Solución:

Si la hipotenusa mide menos de 11,66 cm será un triángulo acutángulo. Si de justo 11,66 cm será rectángulo y si mide más, será obtusángulo.

Problema resuelto 2 - 2º de ESO

Calcula el lado desconocido de los siguientes triángulos rectángulos. (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 16)

SM Savia Tema 9 - Ejercicio 16a - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

SM Savia Tema 9 - Ejercicio 16b - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras

Solución problema resuelto 2a - 2º de ESO

1) Datos:

SM Savia Tema 9 - Ejercicio 16a - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras
2) Planteamiento:

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto x que nos falta.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 8^2=6^2 + x^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 64=36 + x^2$

Restamos 36 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle x^2 = 28$

$\displaystyle b = \sqrt{28}$

$\displaystyle b \approx 5,29$

4) Solución:

El cateto mide 5,29 cm.

Solución problema resuelto 2b - 2º de ESO

1) Datos:

SM Savia Tema 9 - Ejercicio 16b - Ejercicios resueltos del Teorema de Pitágoras
2) Planteamiento:

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el cateto y que nos falta.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 20^2=16^2 + y^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 400=256 + y^2$

Restamos 256 en los dos lados de la fórmula:

$\displaystyle y^2 = 144$

$\displaystyle y = \sqrt{144}$

$\displaystyle y = 12$

4) Solución:

El cateto mide 12 cm.

Problema resuelto 4 - 2º de ESO

Clasifica los siguientes triángulos (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 18).

a) $\displaystyle a=11, b=60, c=61$

b) $\displaystyle a=8, b=4, c=8$

c) $\displaystyle a=15, b=18, c=8$

Solución problema resuelto 4a - 2º de ESO

1) Datos:

a) Longitud de los lados: $\displaystyle a=11, b=60, c=61$ .

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 61^2=60^2 + 11^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 3721=3600 + 121$

$\displaystyle 3721 = 3721$

4) Solución:

Respecto a la longitud de sus lados:

Se trata de un triángulo escaleno porque tiene sus tres lados desiguales.

Respecto a sus ángulos:

Es un triángulo rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras.

Solución problema resuelto 4b - 2º de ESO

1) Datos:

a) Longitud de los lados: $\displaystyle a=8, b=4, c=8$ .

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 8^2=4^2 + 8^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 64 = 16 + 64$

$\displaystyle 64 < 80$

4) Solución:

Respecto a la longitud de sus lados:

Se trata de un triángulo isósceles porque tiene dos lados iguales.

Respecto a sus ángulos:

Es un triángulo acutángulo porque porque $\displaystyle h^2<a^2 + b^2$

Solución problema resuelto 4c - 2º de ESO

1) Datos:

a) Longitud de los lados: $\displaystyle a=15, b=18, c=8$ .

2) Planteamiento:

Para que estos tres números formen un triángulo rectángulo deben cumplir el teorema de Pitágoras. El lado más largo siempre será la hipotenusa.

Sustituimos los valores que conocemos en la fórmula del teorema de Pitágoras.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle 18^2=15^2 + 8^2$

3) Resolución:

$\displaystyle 324 = 225 + 64$

$\displaystyle 324 > 289$

4) Solución:

Respecto a la longitud de sus lados:

Se trata de un triángulo escaleno porque tiene todos los lados desiguales.

Respecto a sus ángulos:

Es un triángulo obtusángulo porque porque $\displaystyle h^2>a^2 + b^2$

Problema resuelto 6 - 2º de ESO

Halla la longitud del lado desconocido, x, (SM Savia – 2º de ESO – Tema 9 – Ejercicio 20).

Solución problema resuelto 6 - 2º de ESO

1) Datos:

Lados conocidos del triángulo: 6 y 10 cm

Lado desconocido x

2) Planteamiento:

Vamos a ver qué tiene que medir el tercer lado para que sea un triángulo rectángulo. Con valores menores será acutángulo y, con valores mayores, será obtusángulo.

$\displaystyle h^2=a^2 + b^2$

$\displaystyle x^2=10^2 + 6^2$

3) Resolución:

$\displaystyle x^2=100 + 36$

$\displaystyle x^2=136$

$\displaystyle x = \sqrt{136}$

$\displaystyle x \approx 11,66$ cm

4) Solución:

Si la hipotenusa mide menos de 11,66 cm será un triángulo acutángulo. Si de justo 11,66 cm será rectángulo y si mide más, será obtusángulo.

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO. Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia.

Ejercicios Resueltos

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Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Ejercicio resuelto 1

Solución ejercicio resuelto 1a

Solución ejercicio resuelto 1b

Solución ejercicio resuelto 1c

Solución ejercicio resuelto 1d

Ejercicio resuelto 3

Solución ejercicio resuelto 3

Ejercicio resuelto 5

Solución ejercicio resuelto 5

Ejercicio resuelto 7

Solución ejercicio resuelto 7a

Solución ejercicio resuelto 7b

Ejercicio resuelto 10

Solución ejercicio resuelto 10

Ejercicio resuelto 12

Solución ejercicio resuelto 12

Ejercicio resuelto 2

Solución ejercicio resuelto 2a

Solución ejercicio resuelto 2b

Ejercicio resuelto 4

Solución ejercicio resuelto 4

Ejercicio resuelto 6

Solución ejercicio resuelto 6a

Solución ejercicio resuelto 6b

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Solución ejercicio resuelto 6d

Ejercicio resuelto 8

Solución ejercicio resuelto 8

Ejercicio resuelto 9

Solución ejercicio resuelto 9

Ejercicio resuelto 11

Solución ejercicio resuelto 11

Ejercicio resuelto 13

Solución ejercicio resuelto 13

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Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Problema resuelto 1 - 2º de ESO

Solución problema resuelto 1 - 2º de ESO

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Solución problema resuelto 3a - 2º de ESO

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Problema resuelto 5 - 2º de ESO

Solución problema resuelto 5 - 2º de ESO

Problema resuelto 7 - 2º de ESO

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