Problemas Resueltos

Máximo Común Divisor
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Máximo Común Divisor

“Es el número natural más grande que es divisor a la vez de todos los números originales dados.”

Se calcula:

  • Factorizando los números.
  • Multiplicando los factores comunes elevados al exponente menor de cada uno.

Aprende practicando

La mejor forma de asentar lo que has aprendido en clase es practicando con más ejercicios. Aquí te ofrezco una colección de problemas resueltos en los que aplicamos el máximo común divisor (MCD) para su resolución.

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Matemáticas 1º de ESO

Problemas resueltos de MCD (máximo común dividir)

En 1º de ESO, se repasa el concepto de MCD y se amplía el abanico de problemas de MCD que se resuelven. Como pista, indicar que, si en un problema buscamos divisores comunes, muy probablemente, deberemos calcular el MCD.

Problema MCD resuelto 1

Isabel quiere calcular el m.c.d. de 120, 240 y 360. Se ha dado cuenta de que los tres números son múltiplos de 10, así que decide dividirlos todos entre 10 y hallar el m.c.d. de 12, 24 y 36.

  1. ¿Cuál es el m.c.d. (12, 24 y 36)?
  2. ¿Cuál es el m.c.d. de 120, 240 y 360?
  3. A partir de los resultados anteriores, ¿cuál será el m.c.d. de 12 000, 24 000 y 36 000?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 48).

Solución problema MCD resuelto 1

1) Datos:

  • Números: 120, 240 y 360.

Cuestiones:

  • ¿MCD(12, 24, 36)?
  • ¿MCD(120, 240, 360)?
  • ¿MCD(12000, 24000, 36000)?

2) Planteamiento:

Para calcular el MCD factorizamos los números y multiplicamos los factores comunes a los tres que estén elevados a su menor potencia.

3) Resolución 1:

\displaystyle 12=2^2\cdot 3 \displaystyle 24=2^3 \cdot 3 \displaystyle 36= 2^2 \cdot 3^2
\displaystyle \left.\begin{matrix}  12 \\  6 \\  3 \\  1 \\ \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle \left.\begin{matrix}  24 \\  12 \\  6 \\  3 \\  1 \\ \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle \left.\begin{matrix}  36 \\  18 \\  9 \\  3 \\  1 \\ \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}

\displaystyle MCD = 2^2 \cdot 3 = 12

4) Solución 1:

El MCD de 12, 24 y 36 es 12.

3) Resolución 2:

Como el MCD de 12, 24 y 36 es 12 podemos usarlo para calcular el MCD de 120, 240 y 360.

Para obtener los tres primeros, hemos dividido los tres primeros por 10. De este modo:

  • \displaystyle 120 = 12 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = = 2^3 \cdot 3  \cdot 5
  • \displaystyle 240 = 24 \cdot 10 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5
  • \displaystyle 360 = 36 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 =2^3 \cdot 3^2  \cdot 5
  • Eso implica que $latex \displaystyle MCD(120, 240, 360) = MCD(12, 24, 36) \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120

Problema MCD resuelto 2

En una frutería quieren colocar 48 aguacates y 60 caquis en bandejas iguales, sin mezclar las frutas y sin que sobre ninguna. ¿Cuál es el mayor tamaño que pueden tener las bandejas?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 50).

Solución problema MCD resuelto 2

1) Datos:

  • 48 aguacates.
  • 60 caquis.
  • Bandejas iguales, sin mezclar, sin que sobre ninguna.

¿Mayor tamaño de las bandejas?

2) Planteamiento:

Podemos dividir las frutas en bandejas con un número de unidades que debe ser divisor de la cantidad de dicha fruta, ya que no puede sobrar ninguna unidad suelta.

Además, las bandejas deben ser del mismo tamaño para los dos tipos de fruta. Por tanto, debemos buscar un divisor común.

Y, por último, las bandejas deben ser del tamaño más grande posible. Así que buscamos el divisor más grande que sea un división común de las dos cantidades de fruta.

Lo que estamos buscando es el máximo común divisor (MCD).

3) Resolución:
Para calcular el MCD de 48 y 60, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 48=2^4 \cdot 3 \displaystyle 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  48 \\  24 \\  12 \\  6 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  60 \\  30 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle mcm = 2^3 \cdot 3 =  12

4) Solución:
Las bandejas podrán ser, como mucho, de 12 unidades cada una.

Problema MCD resuelto 3

Un póster gigante mide 240 cm de largo y 180 cm de alto. Para transportarlo mejor se decide cortarlo en cuadrados, que deben ser del mayor tamaño posible. Calcula la longitud que debe tener el lado de cada cuadrado. 

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 55).

Solución problema MCD resuelto 3

1) Datos:

  • 240 cm de largo.
  • 180 cm de alto

Dividir en cuadrados lo más grandes posibles.

2) Planteamiento:

Al dividir el póster en cuadrados, no debe sobrar nada, por lo que el la longitud de dichos cuadrados debe ser divisor común del largo y del alto.

Además, queremos que los cuadrados sean lo más grandes posibles, por lo que buscamos el máximo común divisor (MCD).

 

3) Resolución:

Para calcular el MCD, primero vamos a factorizar dichas longitudes:

\displaystyle 240=2^4 \cdot 3 \cdot 5 \displaystyle 180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  240 \\  120 \\  60 \\  30 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  180 \\  90 \\  45 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente mayor.

\displaystyle MCD = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5  = 60

4) Solución:

Los cuadrados serán de 60 cm de lado como máximo.

Problema MCD resuelto 4

Una empresa elabora aceites de tres calidades distintas. Del primer aceite se elaboran 4800 L, del segundo, 1350 L, y del tercero, 2646 L.

Si se quiere envasar el aceite en contenedores del mismo tamaño, sin mezclar los de distinto tipo, ¿cuál será el mayor tamaño que puede tener el contenedor?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 119).

Solución problema MCD resuelto 4

1) Datos:

  • Primer aceite, 4800 litros.
  • Segundo aceite, 1350 litros.
  • Tercer aceite, 2646 litros

Calcular el tamaño máximo de los contenedores que podemos tener sin mezclar aceite y sin que sobre.

2) Planteamiento:

Para repartir el aceite en contenedores de igual tamaño debemos buscar un número que sea divisor común de las tres cantidades y que sea lo más grande posible. Para ello, calculamos el mcm y resolveremos así el problema.

3) Resolución:

\displaystyle 4800=2^6 \cdot 3 \cdot 5^2 \displaystyle 1350=2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \displaystyle 2646 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7^2
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  4800 \\  2400 \\  1200 \\  600 \\  300 \\  150 \\  75 \\  25 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  5 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle  \left.\begin{matrix}  1350 \\  675 \\  225 \\  75 \\  25 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  3 \\  3 \\  3 \\  5 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  2646 \\  1323 \\  441 \\  147 \\  49\\  7 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  3 \\  3 \\  3 \\  7 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2 \cdot 3 = 6

4) Solución

El tamaño máximo de las botellas es de 6 litros.

Problema MCD resuelto 5

En un instituto hay 64 alumnos y 80 alumnas entre todos los grupos de 1.º ESO. Se quiere organizar a esos alumnos en varios grupos, de forma que en cada grupo haya el mismo número de chicos y el mismo número de chicas sin que sobre ningún alumno.

  1. ¿Qué tamaño puede tener como mínimo cada grupo?
  2. ¿Cuántos grupos de ese tamaño se pueden hacer?

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – ejercicio 121).

Problemas MCD: ejercicio resuelto 5

1) Datos:

  • 64 alumnos.
  • 80 alumnas.

Agrupar de forma que haya el mismo número de chicos y chicas sin que sobre nadie.

2) Planteamiento:

Para que no sobre nadie, el número de grupos buscado debe ser divisor común de 64 y 80. Luego, dividiendo entre ese MCD podemos calcular cuántos alumnos y alumnas hay en cada grupo.

3) Resolución:

\displaystyle 64=2^6 \displaystyle 80= 2^4 \cdot 5
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  64 \\  32 \\  16 \\  8 \\  4 \\  2 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle  \left.\begin{matrix}  80 \\  40 \\  20 \\  10 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 2^4 = 16

4) Solución

¿Qué tamaño puede tener como mínimo cada grupo?
Para calcular el tamaño mínimo, vamos a calcular cuántos niños y cuántas niñas habrá en cada grupo.
Número de niños \displaystyle  \frac{64}{16} = 4
Número de niños \displaystyle  \frac{80}{16} = 5

Sumando las dos cantidades, obtenemos que habrá 9 alumnos por grupo.

¿Cuántos grupos de ese tamaño se pueden hacer?

Como el MCD era 16, eso nos indica que habrá 16 grupos de 9 personas cada uno.

En total hay \displaystyle  64 + 80 = 144  \Rightarrow \frac{144}{9} = 16 grupos.

Problemas MCD: problema resuelto 6

Una parcela mide 180 m de largo por 160 m de ancho. El agricultor decide dividirla en parcelas iguales, de forma cuadrada y del máximo tamaño posible. 

(SM Savia 1º de ESO, tema 1 – 123).

Solución problema MCD resuelto 6

1) Datos:

  • 180 m de largo.
  • 160 m de ancho.

Dividir en parcelas iguales cuadradas lo más grandes posibles.

2) Planteamiento:

Podemos dividir el ancho y el largo buscando los divisores de las medidas que nos dan. Para que la parcela sea cuadrada, la longitud del lado debe ser divisor común del ancho y el largo y, como buscamos que sea lo más grande posible, tenemos que encontrar el máximo común divisor (MCD) de las dos medidas.

3) Resolución:

\displaystyle 180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \displaystyle 160=2^5 \cdot 5
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  180 \\  90 \\  45 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle  \left.\begin{matrix}  160 \\  80 \\  40 \\  20 \\  10 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  2 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

 

\displaystyle MCD = 2^2 \cdot 5 = 20

4) Solución 1

El lado de la parcela mide 20 m

4) Solución 2

¿Cuántas parcelas habrá?
Vamos a dividir el ancho y el largo entre la longitud de la parcela. Para ver cuántas habrá, multiplicamos los dos cocientes:

\displaystyle Largo = \frac{180}{20} = 9 parcelas.
\displaystyle Largo = \frac{160}{20} = 8 parcelas.

Multiplicamos las filas por las columnas: \displaystyle 8 \cdot 9 = 72 parcelas .

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Matemáticas 2º de ESO

Problemas resueltos de MCD (máximo común divisor)

En 2º de ESO no se realiza ninguna ampliación significativa de dificultad respecto a los problemas donde hay que usar el MCD para resolverlos.

Problemas resueltos MCD 1
En una granja hay 72 ovejas y 84 cabras. ¿Cómo se puede repartir a los animales en cercados del mayor tamaño posible, pero sin mezclar, de forma que en todos haya el mismo número de animales?
(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 25).
Solución problemas resueltos MCD 1
1) Datos:

  • Número de ovejas 72.
  • Número de cabras 84.

Repartir sin mezclar en grupos iguales.

2) Planteamiento:

Podemos agrupar los animales en grupos con un número de unidades que debe ser divisor de la cantidad de cada tipo de animal, ya que no puede sobrar ninguna unidad suelta.

Además, los grupos deben tener el mismo número de animales. Por tanto, debemos buscar un divisor común.

Y, por último, las grupos deben ser del tamaño más grande posible. Así que buscamos el divisor más grande que sea un divisor común de las dos cantidades de animales.

Lo que estamos buscando es el máximo común divisor (MCD).

3) Resolución:

\displaystyle 72=2^3 \cdot 3^2 \displaystyle 84= 2^2 \cdot 3 \cdot 7
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  72 \\  36 \\  18 \\  9 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  3 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  84 \\  42 \\  21 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente mayor.

\displaystyle MCD = 2^2 \cdot 3 = 12

4) Solución:

Podemos poner 12 animales en cada cercado sin necesitad mezclarlos.

Problemas resueltos MCD 2

Inés está cambiando el suelo de su cocina que mide 360 cm de ancho y 630 cm de largo. Quiere que las baldosas sean cuadrados y del mayor tamaño posible.
a) ¿Qué medidas tendrá cada baldosa?
b) ¿Cuántas necesitará?

(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 133).

Solución problemas resueltos MCD 2
1) Datos:

  • Ancho de la cocina: 360 cm.
  • Largo: 630 cm.
  • Baldosas cuadradas del tamaño mayor posible.

2) Planteamiento:

Como las baldosas son cuadradas, tenemos que buscar que la longitud de su lado sea un divisor común de las dos longitudes de la cocina. Como, además, queremos que las baldosas sean del tamaño mayor posible, debemos buscar el mayor de dichos múltiplos comunes. Resumiendo, queremos encontrar el máximo común divisor (MCD).

3) Resolución:
Para calcular el MCD de 360 y 630, primero vamos a factorizar dichos números:

\displaystyle 360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \displaystyle 630=2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  360 \\  180 \\  90 \\  45 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  630 \\  315 \\  105 \\  35 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  3 \\  3 \\  5 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes a los dos números elevados a su exponente menor.

\displaystyle mcm = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 =  90

4) Solución 1:
Las baldosas serán, como mucho, de 90 cm de lado cada una.
4) Solución 2:
El ancho se divide en \displaystyle \frac{360}{90} = 4 columnas.
El largo se divide en \displaystyle \frac{630}{90} = 7 filas.

En total, tendremos que comprar \displaystyle 4 \cdot 7 = 28 baldosas de 90×90 cm..

Problemas resueltos MCD 3

El inspector Tolosabe ha capturado a varios famosos delincuentes, 60 mujeres y 105 hombres, en el XXX Congreso Mafioso. La prisión solo tiene 15 celdas, aunque tienen bastante capacidad. Decide encerrar a sus prisioneros separando a los hombres de las mujeres y metiendo en todas las celdas el mismo número de prisioneros. ¿Podrá hacerlo?

(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – ejercicio 134).

Solución problemas resueltos MCD 3
1) Datos:

  • Mujeres 60.
  • Hombres 105.
  • 15 celdas.

Encerrar separando por sexo y metiendo el mismo número de personas por celda.

2) Planteamiento:

Debemos encontrar un divisor del número de mujeres y hombres a la vez porque queremos no sobre nadie y que haya el mismo número de presos en cada celda.

Además, tiene que ser igual o menor que 15 que es el número máximo de celdas disponible.

Vamos a buscar el número divisor común más grande, para que así hagan falta el menor número de celdas. Si los grupos son grandes, el número de celdas será menor.

3) Resolución:
Para calcular el MCD de 60 y de 105, vamos a factorizar primero los dos números:

\displaystyle 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \displaystyle 105= 3 \cdot 5 \cdot 7
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  60 \\  30 \\  15 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  3 \\  5 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle  \left.\begin{matrix}  105 \\  35 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  3 \\  5 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 3 \cdot 5 = 15

4) Solución

El tamaño máximo de personas en cada celda será de 15. Vamos a ver cuántas celdas hacen falta:

  • Mujeres:\displaystyle \frac{60}{15} = 4 celdas de mujeres.
  • Hombres:\displaystyle \frac{105}{15} = 7 celdas de mujeres.

En total, hacen falta 11 celdas por lo que sí podemos hacerlo.

Problemas resueltos MCD 4

Una distribuidora tiene en el almacén 840 latas de atún, 455 latas de mejillones y 315 latas de berberechos. Quiere almacenarlas en cajas del mismo tamaño, sin mezclar productos distintos, de forma que emplee el menor número posible de cajas. ¿Cuántas latas tendrá cada caja y cuántas cajas habrá de cada producto?

(SM Savia 2º de ESO, tema 1 – Autoevaluación 8.

Solución problemas resueltos MCD 4
1) Datos:

  • 840 latas de atún.
  • 455 latas de mejillones.
  • 315 latas de berberechos.

Guardar en el mínimo número de cajas del mismo tamaño, sin mezclar productos.

2) Planteamiento:

Como no puede sobrar ningún producto, el número de latas por caja debe ser divisor de todas las cantidades de latas. Además, como las cajas deben ser del mismo tamaño, debe ser un divisor común de todas

Además, tiene que ser igual o menor que 15 que es el número máximo de celdas disponible.

Vamos a buscar el número divisor común más grande, para que así hagan falta el menor número de celdas. Si los grupos son grandes, el número de celdas será menor.

3) Resolución:
Para calcular el MCD, vamos a factorizar los tres números:

\displaystyle 840=2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \displaystyle 455= 5 \cdot 7 \cdot 13 \displaystyle 315= 3^2 \cdot 5 \cdot 7
\displaystyle  \left.\begin{matrix}  840 \\  420 \\  210 \\  105 \\  35 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  2 \\  2 \\  2 \\  3 \\  5 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}  \displaystyle  \left.\begin{matrix}  455 \\  91 \\  13 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  5 \\  7 \\  13 \\  1 \\  \end{matrix}    \displaystyle  \left.\begin{matrix}  315 \\  105 \\  35 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}\right|    \begin{matrix}  3 \\  3 \\  5 \\  7 \\  1 \\  \end{matrix}

Para calcular el MCD, multiplicamos los factores comunes elevados a su exponente menor.

\displaystyle MCD = 5 \cdot 7 = 35

4) Solución 1

Habrá 35 latas en cada paquete.

4) Solución 2

Para ver cuántos paquetes habrá de cada producto, dividimos el número de latas entre las latas que hay en cada caja.

  • Atún: \displaystyle \frac{840}{35} = 24 paquetes.
  • Mejillones: \displaystyle \frac{455}{35} = 13 paquetes.
  • Berberechos: \displaystyle \frac{315}{35} = 9 paquetes.

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO.  Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

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