Problemas resueltos de ecuaciones de primer grado

Tabla de problemas resueltos

Número Tipo Enunciado
Problema 1 Edades La edad actual de José es \displaystyle \frac{3}{8}  de la de su hermano y, dentro de 4 años, tendrá la mitad de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a edad actual del hermano?
Problema 2 Edades Averigua qué edad tiene cada uno. “Hace dos años, mi edad era cuatro veces la tuya y, dentro de 8 años, la suma de nuestras edades será 70 años.” (Fuente: Matemáticas SM Savia 1º de ESO – 29)
Problema 3 Edades Dentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades, en ese momento, será 48 años. Calcula la edad actual de cada una. (Fuente: Matemáticas SM Savia 1º de ESO – 64)

Problema resuelto 1

La edad actual de José es \displaystyle \frac{3}{8}  de la de su hermano y, dentro de 4 años, tendrá la mitad de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a edad actual del hermano?

1) Datos

Vamos a expresar los datos del problema en forma de tabla:

Hoy Dentro de 4 años
Hermano \displaystyle x
José \displaystyle \frac{3x}{8}

Si asignamos la incógnita a la edad del hermano, podemos expresar la edad de José como  \displaystyle \frac{3x}{8}

Para representar la edad dentro de 4 años, debemos sumar 4 a la edad actual. De este modo completamos la tabla de datos:

Hoy Dentro de 4 años
Hermano \displaystyle x \displaystyle  (x+4)
José \displaystyle \frac{3x}{8} \displaystyle \left(\frac{3x}8+4\right)

2) Planteamiento

Idea: dentro de 4 años, la edad del hermano será el doble de la de José

Dentro de 4 años, \displaystyle EdadHermano = 2 \cdot EdadJose

Sustituimos cada valor por las expresiones de la columna “Dentro de 4 años” de la tabla.

\displaystyle (x+4) = 2\cdot \left(\frac{3x}8+4\right)

3) Resolución

Resolvemos la ecuación con los 5 pasos que estudiamos en el tema de ecuaciones:

  1. Quitar paréntesis.
  2. Quitar denominadores
  3. Simplificar términos semejantes
  4. Regla de la suma
  5. Regla del producto

Vamos allá:

\displaystyle (x+4) = 2\cdot \left(\frac{3x}8+4\right)

Aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis:

\displaystyle x+4=\frac{6x}8+8

Simplificamos la fracción entre 2:

\displaystyle x+4=\frac{3x}4+8

Multilicamos la ecuación por el mcm de los denominadores que es 4:

\displaystyle 4x+16=3x+32

Restamos 16 en los dos miembros:

\displaystyle 4x=3x+16

Restamos 3x en los dos miembros

\displaystyle x=16

4) Solución

Una vez que tenemos la solución de la ecuación, calculamos la solución del problema volviendo a la tabla, a la columna “Hoy”:

Hoy Valor numérico
Hermano \displaystyle x \displaystyle x = 16
José \displaystyle \frac{3x}{8} \displaystyle \frac{3\cdot 16}{8} = \frac{48}{8} = 6

De este modo, averiguamos que José tiene 6 años y que su hermano tiene 16 años.

Problema resuelto 2

Un chico y una chica está hablando. Él le dice: “Hace dos años, mi edad era cuatro veces la tuya y, dentro de 8 años, la suma de nuestras edades será 70 años.” Averigua qué edad tiene cada uno.

1) Datos

Vamos a expresar los datos del problema en forma de tabla:

Hace 2 años Hoy Dentro de 8 años
Chico \displaystyle 4x \displaystyle (4x+2) \displaystyle (4x+2)+8=(4x+10)
Chica \displaystyle x \displaystyle (x+2) \displaystyle (x+2)+8 = (x+10)
Suma 70 años

Asignamos la incógnita a la edad que tenía la chica hace 2 años.

2) Planteamiento

La idea principal es que, dentro de 8 años, la suma de las edades del chico y la chica será 70 años. Por tanto, cogemos los datos de la columna “Dentro de 8 años”:

Dentro de 8 años, \displaystyle  EdadChico + EdadChica = 70

\displaystyle (4x+10) + (x+10) = 70

3) Resolución de la ecuación:

\displaystyle (4x+10) + (x+10) = 70

\displaystyle 4x+10 + x+10 = 70

\displaystyle 5x + 20 = 70

\displaystyle 5x  = 50

\displaystyle x = 10

4) Solución

Para obtener las edades actuales, nos fijamos en la columna “Hoy”:

Chico =  \displaystyle (4x+2) = 4 \cdot 10 + 2 = 40 + 2 = 42  años.

Chica = \displaystyle (x+2) = 10 + 2 = 12  años.

Problema resuelto 3

Dentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades, en ese momento, será 48 años. Calcula la edad actual de cada una.

1) Datos

Vamos a plasmar los datos de este problema mediante una tabla:

Hoy Dentro de 8 años
Manuela \displaystyle (3x-8) \displaystyle 3x
Hija \displaystyle (x-8) \displaystyle x
Suma 48 años

Asignamos la incógnita a la edad que tendrá la hija de Manuela dentro de 8 años.

2) Planteamiento

La idea que utilizaremos es que, dentro de 8 años, la suma de las edades de Manuela y de su hija será de 48 años.

Dentro de 8 años, \displaystyle  EdadManuela + EdadHija = 48

\displaystyle 3x + x = 48

3) Resolución de la ecuación:

\displaystyle 3x + x = 48

\displaystyle 4x = 48

\displaystyle x = 12

4) Solución

Para obtener las edades actuales, nos fijamos en la columna “Hoy”:

Manuela =  \displaystyle (3x-8) = 3 \cdot 12 - 8  = 36 - 8  = 28  años.

Hija =  \displaystyle (x-8) = 12 - 8  = 4  años.

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