Problemas resueltos de variaciones porcentuales encadenadas

Problemas de cambios porcentuales encadenados
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Variaciones porcentuales encadenadas

“Cuando realizamos varios cambios porcentuales sobre una cantidad, hablamos de variaciones porcentuales encadenadas”. En esta entrada te ofrecemos problemas resueltos de variaciones porcentuales.

Ten en cuenta:

  • No podemos sumar o restar porcentajes para calcular el porcentaje acumulado.
  • Si utilizamos la regla de tres, tendremos que plantear tantas como cambios porcentuales queramos calcular (tres cambios, tres reglas de tres).

¿Hay alguna manera de realizar los cálculos de forma más rápida? Vamos a verlo.

Índice de variación

“El índice de variación nos indica el cambio que se produce respecto de 1. “

Ten en cuenta:

  • El índice de variación en un incremento o aumento porcentual es IV=1+\\frac{p}{100} donde p es el porcentaje de aumento. Si se trata de una disminución o decremento porcentual el índice de variación será IV=1-\\frac{p}{100}.
  • En una sucesión o cadena de cambios porcentuales, el índice de variación total es el producto de los distintos índices de variación parciales: IV_{total} =IV_{1} \\cdot IV_{2} \\cdot IV_{3} \\cdot \\cdot \\cdot IV_{n} donde n indica el número de cambios que queremos aplicar sobre la cantidad inicial.
  • Por último, el resultado final de dichos cambios o cantidad final será el resultado de multiplicar la cantidad inicial por el índice de variación total C_{final}=C_{inicial} \\cdot IV_{total}
d

Matemáticas 1º y 2º de ESO

Problemas resueltos de variaciones porcentuales encadenadas

Las variaciones porcentuales se introducen en 1º de ESO, pero es en 2º de ESO cuando estudiamos la mejora que introduce el índice de variación a la hora de calcular cambios porcentuales encadenados.

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 1

Un anticuario adquiere un mueble por 720 €. Lo pone a la venta incrementando su precio en un 30%, pero no consigue venderlo y tres meses después decide rebajarlo un 10% del precio fijado. ¿Cuál es el precio final del mueble?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 62).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 720€

Incremento: 30%

Decremento: 10%

Pregunta: ¿cuál es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

 

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un incremento:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es un decremento, es decir, una bajada porcentual del 10%:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final será de 842,40€

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 2

Pablo va a comprar un suéter de 45 € cuya etiqueta dice: “llévatelo con el 25% de descuento“. La cajera le dice que por ser el último suéter de ese estilo tiene un 20 % de descuento adicional al marcado en la etiqueta. ¿Cuánto pagará finalmente Pablo por el suéter?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 63).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 45€

Descuento 1: 25%

Descuento 2: 20%

Pregunta: ¿cuál es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un descuento o decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es también un decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final será de 27€

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 3

Un frigorífico tiene un precio inicial de 890€. Por liquidación de existencias está rebajado un 15 %. Si se paga a plazos, el precio se incrementa en un 2,5 %. Calcula el precio final en esa modalidad de pago.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 102).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial: 890€

Descuento: 15%

Incremento por pago a plazos: 2,5%

Pregunta: ¿cuál es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual. Al ser un descuento o decremento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es un incremento porcentual debido a que el pago se hace a plazos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final, aplicando el redondeo correspondiente  será de 775,41€

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 4

Observa el precio de un litro de gasolina en el mes de mayo (1,47€). En junio aumentó un 2% y en agosto aumentó un 1,5 Calcula el precio del litro de gasolina después de estos aumentos.

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 103).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial de la gasolina: 1,47€

Aumento en junio: 2%

Aumento en agosto: 1,5%

Pregunta: ¿cuál es el precio final?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el IV del primer cambio porcentual en julio. Al ser un incremento o aumento porcentual:

Índice de variación

La segunda variación es un incremento porcentual en el mes de agosto:

Índice de variación

Por tanto, el índice de variación total será:

Índice de variación

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales es:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

El precio final del litro de gasolina, aplicando el redondeo correspondiente, será de 1,52€

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 5

En la tienda de electrodomésticos, el precio sin IVA de un ordenador es de 540 €, pero nos hacen un descuento del 15%. ¿Qué es mejor, aplicar primero el descuento y luego el IVA, o al revés?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 105).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial del ordenador: 540€

IVA: +21%

Descuento: -15%

Pregunta: ¿qué es mejor: aumentar primero el IVA y luego aplicar el descuento o viceversa?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el índice de variación total y multiplicarlo por la cantidad inicial.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Como el producto cumple la propiedad conmutativa es lo mismo:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por lo que el orden en que apliquemos los cambios porcentuales encadenados no va a variar el resultado.

4) Solución

Por lo que el orden en que apliquemos los cambios porcentuales encadenados no va a variar el resultado.

Problemas resueltos de porcentajes encadenados 6

Ana compró una falda de 45 €. En la etiqueta decía llévesela con el 30 % de descuento. El cajero le informó que
podía obtener un descuento adicional del 10 % si pagaba en efectivo

a) Si Ana pagó en efectivo, ¿cuál fue el precio de la falda?
b) Si Ana pagó con tarjeta de crédito, ¿cuánto debió pagar por la falda?
c) Si la etiqueta ofreciera un descuento del 40 % y no se ofreciera un descuento adicional en caja, ¿pagaría Ana el mismo valor que en el caso anterior?

(Adaptado de SM Savia Nueva Generación 1º de ESO, tema 6 – ejercicio 106).

Solución problemas resueltos de porcentajes encadenados

1) Datos

Precio inicial de la falda: 45€

Descuento 1: 30%

Descuento 2, pagando en efectivo: 10%

Pregunta: ¿cuál es el precio final?

2a) Planteamiento (efectivo)

Vamos a calcular precio aplicando los dos descuentos ya que se paga en efectivo.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3a) Resolución

El IV del primer cambio porcentual ya lo tenemos calculado en el apartado anterior.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

La segunda variación es también un descuento porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales aplicamos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4a) Solución

El precio final de la faltada, pagando en efectivo, será de 28,35€

2b) Planteamiento (tarjeta)

En segundo lugar, probamos el caso en que Ana pague con tarjeta.

Índice de variación

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3b) Resolución

Entonces, el IV total corresponde con el primer descuento únicamente. Por tanto, el índice de variación total será:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Para calcular el precio final después de aplicar los dos cambios porcentuales aplicamos:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4a) Solución

El precio final de la faltada, pagando con tarjeta, será de 31,50€

2c) Planteamiento

Para comprobar que un descuento del 40% sería lo mismo que aplicar los dos descuentos del apartado a (-30% y -10%) tendrían que tener el mismo IV.

3c) Resolución

El IV del apartado a) era de 0,63. Vamos a ver el IV con un descuento del 40%

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4c) Solución

Como el IV que corresponde al descuento del 40% es distinto al de combinar un 30% y un 10%, podemos afirmar que Ana no pagaría lo mismo.

d

Matemáticas 2º de ESO

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

En 2º de ESO no se realiza ninguna ampliación significativa de dificultad respecto a los ejercicios de proporciones y porcentajes.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 1

Calcula el resultado final de aplicar a una cantidad un aumento del 3% y una disminución del 5%. Calcula el porcentaje de variación respecto del precio inicial.
(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 68).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 1

1) Datos

Cambio 1: +3%

Cambio 2: -5%

Pregunta: ¿% de cambio total?

2) Planteamiento

Vamos a calcular el IV total como el producto de los IV de cada cambio:

3) Resolución

Calculamos el IV del aumento del 3%:

Y el IV de la disminución del 5%:

El IV total será:

4) Solución

Como el IV total es menor que 1, quiere decir que en total ha habido una disminución: lo que antes valía 1, ahora vale 0,9785. Si lo pasamos a porcentajes, hemos cambiado del 100% al 97,85% lo que significa una reducción de:

%

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 2

69) Calcula el resultado final de aplicar los siguientes porcentajes encadenados. Calcula el porcentaje de variación respecto del precio inicial.
a) Aumento del 3 % y aumento del 3 %
b) Aumento del 12 % y disminución del 15 %
c) Aumento del 25 % y disminución del 60 %
d) Disminución del 10% y disminución del 15 %

(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 69).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 2

a) Aumento del 3% y aumento del 3%

Calcula el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser mayor que 1, se trata de una subida porcentual: lo que valía 1, ahora vale 1,0609.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 106,09%, luego se trata de una subida del 6,09%. Como puedes ver no podemos sumar 3% y 3% porque daría 6% que no es la solución correcta.

b) Aumento del 12 % y disminución del 15 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,952.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 95,2%, luego se trata de una bajada del 100%-95,2%=4,8%. 

c) Aumento del 25 % y disminución del 60 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,5.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 50%, luego se trata de una bajada del 100%-50%=50%. 


d) Disminución del 10% y disminución del 15 %

Calculamos el IV total como el producto de los IV parciales:

Al ser menor que 1, se trata de una bajada porcentual: lo que valía 1, ahora vale 0,765.

Si lo pasamos a porcentajes, 100% pasa a 76,5%, luego se trata de una bajada del 100%-76,5%=24,5%. 

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 3

70) Una cantidad ha aumentado un 10% y después ha disminuido un 20%. El resultado final es 365,2. ¿Cuál era la cantidad inicial?



(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 70).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 3

1) Datos

Variación porcentual 1: +10%

Variación porcentual 2: -20%

Cantidad final: 365,2

¿Cuál será la cantidad inicial?

2) Planteamiento

Vamos a calcular los IV de cada cambio porcentual y calcular el IV total como el producto de los dos anteriores. Luego, usaremos la fórmula

3) Resolución

Calculamos el primero IV:

Calculamos el IV correspondiente a la disminución porcentual:

El IV total se calcula:

Como es un decimal menor que 1, en general, la cantidad sufrió una disminución por lo que la cantidad inicial debe de ser mayor que 365,2 que tenemos al final.

4) Solución

La cantidad inicial era de 415. Después de sufrir un descenso del 12% (IV=0,88), se quedó reducida a 365,2.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 4

71) Calcula la cantidad inicial en cada caso.

  1. Después de un aumento del 12% y de una disminución del 24%, se obtiene 306,432.
  2. Después de dos rebajas de 15% y del 12%, se obtiene 112.
  3. Después de una rebaja del 40% y de un aumento del 25%, se obtiene 366.
  4. Después de una rebaja del 10%, de un aumento del 20% y de una rebaja del 10%, se obtiene un resultado final de 3888.

(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 71).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 4

En todos los casos, vamos a calcular el índice de variación como el producto de cada uno de los índices de variación de cada cambio en particular y, luego, usaremos la siguiente fórmula para calcular la cantidad inicial.

a) Después de un aumento del 12 % y de una disminución del 24 %, se obtiene 306,432.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 360.

b) Después de dos rebajas de 15 % y del 12 %, se obtiene 112.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 149,73 aproximadamente.

c) Después de una rebaja del 40 % y de un aumento del 25 %, se obtiene 366.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 488.

d) Después de una rebaja del 10%, de un aumento del 20 % y de una rebaja del 10 %, se obtiene un resultado final de 3888.

El IV total se calcula:

Aplicando la fórmula

La cantidad inicial era de 4000.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 5

94) Las acciones de una compañía han subido un 18% en 2020, pero han bajado un 12% en 2021.

  1. Si el precio inicial de la acción era de 25 €, ¿cuál es su precio final?
  2. Si un inversor ha recibido 34,52 € por una acción, ¿a qué precio la adquirió?



(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 94).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 5

1) Datos

  • Variación año 2020: +18%
  • Variación año 2021: -12%
  1. Si Pinicial=25€, entonces, ¿Pfinal?
  2. Si Pfinal=34,52€, entonces, ¿Pinicial?

2) Planteamiento

Vamos a calcular los IV de cada cambio porcentual y calcular el IV total como el producto de los dos anteriores. Luego, usaremos la fórmula Problemas resueltos de variaciones porcentuales

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Calculamos el IV2 correspondiente a la disminución porcentual:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

El IVtotal se calcula:

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Como es un decimal mayor que 1, en general, la cantidad sufrió un incremento por lo que la cantidad inicial debe de ser menor que la cantidad que tenemos al final.

a) Primera parte

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

b) Segunda parte

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

Problemas resueltos de variaciones porcentuales

4) Solución

  1. El precio de una acción que valía 25€ queda en 25,96€ después de las variaciones de precios de 2020 y 2021.
  2. Una acción, que ahora vale 34,52€, se compró por 33,24€ aproximadamente.
Problemas resueltos de variaciones porcentuales 6

101) Una cantidad disminuye un 60%. ¿En qué porcentaje debe aumentar para recuperar la cantidad inicial?
(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 101).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 6

1) Datos

  • Variación 1: -60%
  • Calcula % de variación 2 para recuperar la cantidad inicial

2) Planteamiento

Como queremos que la cantidad final no cambie respecto de la inicial pues de realizar los dos cambios porcentuales, buscaremos cuánto debe valer el IV2 para que el índice de variación total valga uno.

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 1:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 2,5 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 250% por lo que el incremento necesario para recuperar la cantidad inicial será 250%-100% del 150%.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 7

102) Una cantidad disminuyó un 10%, ¿en qué porcentaje debe aumentar para que se obtenga el triple de la cantidad inicial?

(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 102).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 7

1) Datos

  • Variación 1: -10%
  • Calcula % de subida para que el resultado final será el triple del inicial

2) Planteamiento

Para que algo valga el triple debemos pasar del 100% de su valor al 300%. Por tanto, el IVtotal debe ser 3. Calcularemos el IV1 y despejamos en la formula:

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 3:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 3,33 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 333,33% por lo que el incremento necesario para recuperar la cantidad inicial será 333,33%-100% del 233,33%.

Problemas resueltos de variaciones porcentuales 8

103) Una cantidad aumentó un 25%, ¿en qué porcentaje debe disminuir para obtener la cantidad inicial?

(SM Savia Nueva Generación 2º de ESO, tema 4 – ejercicio 103).

Solución problemas resueltos de variaciones porcentuales 8

1) Datos

  • Variación 1: +25%
  • Calcula % de bajada para que el resultado final sea igual que la cantidad inicial.

2) Planteamiento

Para que no haya cambios en la cantidad, el IVtotal debe ser 1. Calcularemos el IV1 y despejamos en la formula:

3) Resolución

Calculamos el primero IV1:

Calculamos el IV2 correspondiente para que IVtotal sea 1:

Sustituyendo los valores que conocemos:

Despejamos IV2:

4) Solución

Como el IV2 vale 0,80 nos indica que de

Entonces, del 100% pasamos al 80%, por lo que la disminución necesaria para recuperar la cantidad inicial será 100%-80% del 20%.

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Origen de los ejercicios

Estos ejercicios están tomados de los libros de la serie SAVIA y SAVIA Nueva Generación de la editorial SM. En concreto, de los libros de texto de 1º y 2º de ESO.  Aparecen citados aquí para ayudar a mis estudiantes en sus clases. Ir a SM Savia. 

Proporciones y porcentajes - Tema 7 - 1º de ESO
Ejercicios resueltos de proporciones y porcentajes
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