Los números naturales

1º de ESO - Tema 1 Temario de 1º de ESO

Los números naturales

¿Por qué tenemos diez cifras en nuestro sistema de numeración? ¿En qué orden debo realizar las operaciones y qué propiedades son importantes? ¿Qué diferencia hay entre múltipli, divisor, factor y divisible? ¿Qué son los números primos? ¿Cómo se calcula el mcm y el MCD? Estas son algunas de las preguntas que vamos a resolver en este tema dedicado a los números naturales y a la divisibilidad.

Ejercicios resueltos

Te recomiendo que practiques con los ejercicios resueltos que te ofrezco en algunos de los apartados de este tema. Son enlaces a otras entradas, para poder organizar mejor el temario. La mejor matera de aprender Matemáticas es practicar los ejercicios varias veces. Con el tiempo, cogerás confianza y verás que son mucho más sencillos de lo que pensabas en un primer momento.

SUMARIO

Los números enteros

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01.

Nuestro sistema de numeración

02.

Los números naturales, sus operaciones y propiedades. Jerarquía de operaciones.

03.

Conceptos de múltiplo y divisor, factor y divisible. Números primos y compuestos, criterios de divisibilidad, descomposición en factores primos, cálculo del mcm y del MCD.

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Los números naturales

Sistema de numeración

Existen múltiples sistemas de numeración, pero el que mejor manejamos los humanos es el sistema de numeración decimal. Quizás, porque tenemos 10 dedos.

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Cifras y letras

Al igual que las palabras están formadas por letras, los números están formados por cifras. En el sistema de numeración decimal, tenemos 10 cifras distintas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los números se crean combinando dichas cifras.

Nuestro sistema de numeración se caracteriza por ser:

  • Posicional: el valor de una cifra dentro de un número varía según la posición que ocupa dicha cifra dentro de un número. Por ejemplo, el número 3530 está formado por 4 cifras. El 3 que está a la izquierda ocupa la posición de las unidades de millar, por lo que equivale a 3·1000=3000 unidades, mientras que el otro 3 está situado en el lugar de las decenas. Por tanto, su valor es 3·10 = 30 unidades.
  • Decimal: esto quiere decir que 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Es decir, cuando cada 10 unidades formamos una decena, cada 10 decenas, se forma una centena y así sucesivamente.

 

Otros sistemas de numeración

El decimal no es el único sistema de numeración que utilizamos habitualmente.

  • Sistema binario: sólo tiene dos cifras: 0 y 1. Es el que utilizan internamente los ordenadores. El cero representa que no pasa corriente eléctrica y el 1 que sí pasa un pulso de corriente eléctrica. Cuando decimos que un ordenador es de 64 bits estamos diciendo que representa internamente los números con 64 cifras de 0 y 1.Como ejemplo, vamos a ver cuántos números se pueden representar con 3 cifras:
    Decimal Binario (3 cifras)
    0 000
    1 001
    2 010
    3 011
    4 100
    5 101
    6 110
    7 111

    Es decir, únicamente podemos representar del 0 al 7.

    En el sistema binario, cada 2 unidades se forma una unidad del orden inmediato superior.

  • Hexadecimal: es un sistema que también se utiliza frecuentemente en informática. Por ejemplo, cuando representamos un color en formato RGB (Red-Green-Blue) lo hacemos de la siguiente forma #FFA060 que quiere decir que el nivel de rojo es FF, el de verde A0 y el de azul 60. Como puedes observar, el sistema hexadecimal utiliza 16 cifras distintas:
    Decimal Hexadecimal
    0 0
    1 1
    2 2
    3 3
    4 4
    5 5
    6 6
    7 7
    8 8
    9 9
    10 A
    11 B
    12 C
    13 D
    14 E
    15 F
    16 10
    17 11
    254 FE
    255 FF

    Como puedes ver en la tabla, al llegar al 16, se forma una unidad del orden inmediato superior (representada por 1) y volvemos a empezar con la cifra 0. Así, 16 se representa por 10 y 17 por 11. Si continuamos la tabla veremos que 255 se representa por FF.
    Así, en la notación de los colores RGB, cada color se gradúa en 256 niveles (desde 0 hasta 255).

  • Romano: el sistema de numeración romano es bastante particular. Usa las siguientes cifras:
    Decimal Romano
    I 1
    V 5
    X 10
    L 50
    C 100
    D 500
    M 1000

    Alguna de las reglas más importantes son:

    • No se pueden escribir más de tres cifras iguales seguidas. (XXXI = 31)
    • Las cifras de menor valor situadas a la derecha acumulan su valor (CL = 100 + 50 = 150) , si hay una cifra de menor valor a la izquierda, se disminuye su valor (IX = 10 – 1 = 9).
      • Sólo pueden ir restando la I, X, C y M.
      • Sólo pueden aparecer restando sobre los símbolos de valor inmediatamente superiores, pero no de otros con valores más altos (p.e. ‘IV’, ‘IX’ o ‘XC’, pero no ‘IL’ ni ‘IC’ ni ‘XM’).
      • Un símbolo no puede repetirse restando (Es incorrecto escribir 80 como XXC).
    • I, X, C y M pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas para escribir un número compuesto (XXII = 22)
    • V, L y D no pueden repetirse nunca (LL es incorrecto, ya que podríamos escribir C = 100)
    • Si un número romano tiene sobre él una raya, entonces su valor se multiplica por mil.

La historia del uno

Interesante documental de la BBC en la que repasan nuestro sistema de numeración, su origen y evolución hasta nuestros días:

Repasa los números romanos

Vídeo corto orientado a Primaria, pero que nos puede servir en 1º de ESO para recordar las reglas para formar números romanos.

Operaciones y propiedades

En esta sección, vamos a ver las principales propiedades de los números naturales y la en qué orden debemos hacer las operaciones para resolver ejercicios de Matemáticas.

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Los números naturales

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Jerarquía de operaciones

Es importante recordar que debemos realizar las operaciones siguiendo este orden:

  1. Primero las operaciones que haya dentro de paréntesis.
  2. Multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, de izquierda a derecha.
  3. SUmas

Propiedad conmutativa

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Propiedad asociativa

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Divisibilidad

Por último, veremos las propiedades de la división entera de números naturales, los conceptos de divisor-factor, divisible-múltiple, los criterios de divisibilidad, los números primos y compuestos. Por último, vamos a repasar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 

Divisor y factor

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Múltiplo y divisible

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Números primos y compuestos

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Criterios de divisibilidad

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Descomposición en factores primos

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Máximo común divisor

El máximo común divisor de varios números es un número natural que es el divisor más grande de todos ellos a la vez.

El algoritmo para calcular el MCD es el siguiente:

  • Factorizamos todos los números como producto de números primos.
  • Multiplicamos los factores comunes a todos ellos elevados a su menor exponente.

Ejemplo:

Aquí puedes encontrar más ejercicios resueltos y problemas de máximo común divisor:

Problemas de MCD - Ejercicios resueltos Matemáticas Ejercicios MCD resueltos factorizando los números - Matemáticas - LeccionesDeMates

Mínimo común múltiplo

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Students

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