Los números naturales

1º de ESO - Tema 1
Temario de 1º de ESO

Los números naturales

¿Por qué tenemos diez cifras en nuestro sistema de numeración? ¿En qué orden debo realizar las operaciones y qué propiedades son importantes? ¿Qué diferencia hay entre múltipli, divisor, factor y divisible? ¿Qué son los números primos? ¿Cómo se calcula el mcm y el MCD? Estas son algunas de las preguntas que vamos a resolver en este tema dedicado a los números naturales y a la divisibilidad.

Ejercicios resueltos

Te recomiendo que practiques con los ejercicios resueltos que te ofrezco en algunos de los apartados de este tema. Son enlaces a otras entradas, para poder organizar mejor el temario. La mejor matera de aprender Matemáticas es practicar los ejercicios varias veces. Con el tiempo, cogerás confianza y verás que son mucho más sencillos de lo que pensabas en un primer momento.

SUMARIO

Los números enteros

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01.

Nuestro sistema de numeración

02.

Los números naturales, sus operaciones y propiedades. Jerarquía de operaciones.

03.

Conceptos de múltiplo y divisor, factor y divisible. Números primos y compuestos, criterios de divisibilidad, descomposición en factores primos, cálculo del mcm y del MCD.

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Los números naturales

Sistema de numeración

Existen múltiples sistemas de numeración, pero el que mejor manejamos los humanos es el sistema de numeración decimal. Quizás, porque tenemos 10 dedos.

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Cifras y letras

Al igual que las palabras están formadas por letras, los números están formados por cifras. En el sistema de numeración decimal, tenemos 10 cifras distintas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los números se crean combinando dichas cifras.

Nuestro sistema de numeración se caracteriza por ser:

  • Posicional: el valor de una cifra dentro de un número varía según la posición que ocupa dicha cifra dentro de un número. Por ejemplo, el número 3530 está formado por 4 cifras. El 3 que está a la izquierda ocupa la posición de las unidades de millar, por lo que equivale a 3·1000=3000 unidades, mientras que el otro 3 está situado en el lugar de las decenas. Por tanto, su valor es 3·10 = 30 unidades.
  • Decimal: esto quiere decir que 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. Es decir, cuando cada 10 unidades formamos una decena, cada 10 decenas, se forma una centena y así sucesivamente.

 

Otros sistemas de numeración

El decimal no es el único sistema de numeración que utilizamos habitualmente.

  • Sistema binario: sólo tiene dos cifras: 0 y 1. Es el que utilizan internamente los ordenadores. El cero representa que no pasa corriente eléctrica y el 1 que sí pasa un pulso de corriente eléctrica. Cuando decimos que un ordenador es de 64 bits estamos diciendo que representa internamente los números con 64 cifras de 0 y 1.Como ejemplo, vamos a ver cuántos números se pueden representar con 3 cifras:
    Decimal Binario (3 cifras)
    0 000
    1 001
    2 010
    3 011
    4 100
    5 101
    6 110
    7 111

    Es decir, únicamente podemos representar del 0 al 7.

    En el sistema binario, cada 2 unidades se forma una unidad del orden inmediato superior.

  • Hexadecimal: es un sistema que también se utiliza frecuentemente en informática. Por ejemplo, cuando representamos un color en formato RGB (Red-Green-Blue) lo hacemos de la siguiente forma #FFA060 que quiere decir que el nivel de rojo es FF, el de verde A0 y el de azul 60. Como puedes observar, el sistema hexadecimal utiliza 16 cifras distintas:
    Decimal Hexadecimal
    0 0
    1 1
    2 2
    3 3
    4 4
    5 5
    6 6
    7 7
    8 8
    9 9
    10 A
    11 B
    12 C
    13 D
    14 E
    15 F
    16 10
    17 11
    254 FE
    255 FF

    Como puedes ver en la tabla, al llegar al 16, se forma una unidad del orden inmediato superior (representada por 1) y volvemos a empezar con la cifra 0. Así, 16 se representa por 10 y 17 por 11. Si continuamos la tabla veremos que 255 se representa por FF.
    Así, en la notación de los colores RGB, cada color se gradúa en 256 niveles (desde 0 hasta 255).

  • Romano: el sistema de numeración romano es bastante particular. Usa las siguientes cifras:
    Decimal Romano
    I 1
    V 5
    X 10
    L 50
    C 100
    D 500
    M 1000

    Alguna de las reglas más importantes son:

    • No se pueden escribir más de tres cifras iguales seguidas. (XXXI = 31)
    • Las cifras de menor valor situadas a la derecha acumulan su valor (CL = 100 + 50 = 150) , si hay una cifra de menor valor a la izquierda, se disminuye su valor (IX = 10 – 1 = 9).
      • Sólo pueden ir restando la I, X, C y M.
      • Sólo pueden aparecer restando sobre los símbolos de valor inmediatamente superiores, pero no de otros con valores más altos (p.e. ‘IV’, ‘IX’ o ‘XC’, pero no ‘IL’ ni ‘IC’ ni ‘XM’).
      • Un símbolo no puede repetirse restando (Es incorrecto escribir 80 como XXC).
    • I, X, C y M pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas para escribir un número compuesto (XXII = 22)
    • V, L y D no pueden repetirse nunca (LL es incorrecto, ya que podríamos escribir C = 100)
    • Si un número romano tiene sobre él una raya, entonces su valor se multiplica por mil.

La historia del uno

Interesante documental de la BBC en la que repasan nuestro sistema de numeración, su origen y evolución hasta nuestros días:

Repasa los números romanos

Vídeo corto orientado a Primaria, pero que nos puede servir en 1º de ESO para recordar las reglas para formar números romanos.

Operaciones y propiedades

En esta sección, vamos a ver las principales propiedades de los números naturales y la en qué orden debemos hacer las operaciones para resolver ejercicios de Matemáticas.

y

Los números naturales

Los números naturales se utilizan para contar desde hace miles de años. Los romanos no utilizaban el cero, que fue introducido en Europa siglos después por los árabes proveniente de la cultura india. Los números naturales son \displaystyle \mathbb{N} = \left \{ 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... \right \}

Jerarquía de operaciones

Es importante recordar que debemos realizar las operaciones siguiendo este orden:

  1. Primero las operaciones que haya dentro de paréntesis.
  2. Multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, de izquierda a derecha.
  3. SUmas

Propiedad conmutativa

Conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\displaystyle a,b \:  \epsilon \:  \mathbb{N}  \Rightarrow a+b=b+a

Ejemplo:

\displaystyle 5+8 = 8+5 = 13

Conmutativa del producto

El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\displaystyle a,b \:  \epsilon \:  \mathbb{N}  \Rightarrow a \cdot b=b \cdot a

Ejemplo:

\displaystyle 5 \cdot 8 = 8 \cdot 5 = 40

Propiedad asociativa

Conmutativa de la suma

Cuando hay dos o más sumas, el orden en que las resuelvo no altera el resultado total de la suma.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\displaystyle a,b,c \: \epsilon \: \mathbb{N} \Rightarrow a+b+c=a+(b+c) = (a+b)+c = (a+c) + b

Ejemplo:

\displaystyle (5+8) +7 = 5+(8+7) = 20

Asociativa del producto

Cuando hay dos o más multiplicaciones, el orden en que las realizo  no altera el resultado final de la multiplicación.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\displaystyle a,b,c \: \epsilon \: \mathbb{N} \Rightarrow (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) =(a \cdot c) \cdot b

Ejemplo:

\displaystyle (5 \cdot 8) \cdot 3 = 5 \cdot  (8 \cdot 3) = 120

Divisibilidad

Por último, veremos las propiedades de la división entera de números naturales, los conceptos de divisor-factor, divisible-múltiple, los criterios de divisibilidad, los números primos y compuestos. Por último, vamos a repasar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 

Divisor y factor

Divisor

A es divisor de B, si al dividor B entre A, la división es exacta (el resto es cero).

Por ejemplo, 4 es divisor de 20 porque 20:4 = 5 (resto igual a cero).

Factores

A y B son factores de C si A·B = C

Por ejemplo, 4 y 5 son factores de 20 porque 4·5 es 20.

Si A es divisor de B, entonces A también es factor de B.

 

Múltiplo y divisible

Múltiplo

A es múltiplo de B si al multiplicar B por un número natural concreto se obtiene A.

Por ejemplo, 30 es múltiplo de 5 porque 5·6 = 30

Divisible

Diremos que A es divisible entre B si la división de A entre B es exacta.

Ejemplo: 36 es divisible entre 3 porque 36:3=12

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Números primos y compuestos

Un número es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

El número 29 sólo es divisible entre 1 y entre 29, por tanto, es primo.

El número 30 tiene muchos divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, por tanto, es compuesto.

 

Criterios de divisibilidad

Para saber si un número es divisible entre otro, debemos hacer la división y ver si es exacta o no. Como este proceso es realmente lento, ponemos utilizar una serie de criterios que nos permiten saber con anterioridad si la división es exacta o no. Aplicando estos criterios, vamos a ahorrar bastante tiempo:

Criterio de divisibilidad del 2

Un número es divisible entre dos si es par, es decir, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 1234 es divisible entre 2 porque es par.

Criterio de divisibilidad del 3

Si al sumar todas las cifras de un número, obtenemos un múltiplo de 3, entonces, el número original es divisible entre 3. Por ejemplo, el número 123 es divisible entre 3 porque al sumar todas sus cifra (1+2+3 = 6) obtenemos un múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad del 5

Un número es divisible entre 5 si su última cifra es cero o cinco. Por ejemplo, 1225 es divisible entre 5 porque acaba en 5.

Criterio de divisibilidad del 7

Para saber si un número es divisible entre 7, separamos la última cifra del número y la multiplicamos por 2. Dicha cantidad se la restamos al resto del número. Si obtenemos un múltiplo de 7 o el cero, el número original será divisible entre 7 también.

Por ejemplo, 294 es divisible entre 7 porque:

  1. Separamos 29 y 4.
  2. Multiplicamos 4 por 2 y obtenemos 8.
  3. A 29 le restamos 8 y obtenemos 21.
  4. Como 21 es múltiplo de 7, 294 es divisible entre 7.
Criterio de divisibilidad del 11

Para saber si un número es divisible entre 11 hacemos los siguiente:

  1. Sumamos entre sí las cifras que se encuentran en posición impar dentro del número y, por otro lado, sumamos las cifras en posición par.
  2. Restamos las dos cantidades.
  3. Si obtenemos cero o un múltiplo de 11, el número original será divisible entre 11. 

Por ejmplo, vamos a comprobar si 1848 es divisible entre 11:

Posición 1: 8

Posición 2: 4

Posición 3: 8

Posición 4: 1

Sumamos las cifras en las posiciones 1 y 3 (posiciones impares) 8+8=16

Sumamos las cifras en las posiciones 2 y 4 (posiciones pares) 4+1=5

Restamos al mayor la menor cantidad: 16-5=11

Como 11 es múltiplo de 11, entonces, podemos afirmar que 1848 es divisible entre 11.

Otros criterios de divisibilidad

Menos importantes, aunque pueden ser de utilidad, son los siguientes criterios de divisibilidad:

  •  Un número es divisible entre 10 si acaba en cero.
  • Un número es divisible entre 100 si acabas en dos ceros.
  • Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras son múltiplos de 4.
  • Un número es divisible entre 25 si acaba en 00, 25, 50 o 75.

Descomposición en factores primos

Consiste en escribir un número como el resultado de la multiplicación de una serie de números primos. La descomposición en factores primos de un número es única.

Para ello, vamos a ir dividiendo el número original entre los números primos conocidos.

Máximo común divisor

El máximo común divisor de varios números es un número natural que es el divisor más grande de todos ellos a la vez.

El algoritmo para calcular el MCD es el siguiente:

  • Factorizamos todos los números como producto de números primos.
  • Multiplicamos los factores comunes a todos ellos elevados a su menor exponente.

Ejemplo:

Aquí puedes encontrar más ejercicios resueltos y problemas de máximo común divisor:

Problemas de MCD - Ejercicios resueltos Matemáticas Ejercicios MCD resueltos factorizando los números - Matemáticas - LeccionesDeMates

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de varios números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez.

El algoritmo para calcular el mcm es el siguiente:

  • Factorizamos todos los números como producto de números primos.
  • Multiplicamos los factores comunes a todos ellos elevados a su mayor exponente y también los factores no comunes elevados también a su mayor exponente.

Ejemplo:

Aquí puedes encontrar más ejercicios resueltos y problemas de máximo común divisor:

Ejercicios resueltos de mcm mínimo común múltiplo Planteas alineados - Problemas mcm - Matemáticas

Los números enteros

LAS Fracciones

Potencias y raíces

El lenguaje algebraico

Apuntes de 1º ESO

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