Ecuaciones de primer grado

1º de ESO - Tema 6
Temario de 1º de ESO

Ecuaciones

Las ecuaciones son uno de los conceptos matemáticas más utilizados por los estudiantes y también de los más buscados. Las ecuaciones nos permiten resolver multitud de problemas. Este año empezamos a estudiarlas y seguirás año a año adquiriendo más destreza hasta llegar a los estudios universitarios donde cobran todo sus explendor. Pero vayamos poco a poco. ¿Comenzamos?

Ejercicios resueltos

Te recomiendo que practiques con los ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado que te ofrezco en algunos de los apartados de este tema. Son enlaces a otras entradas, para poder organizar mejor el temario. La mejor matera de aprender Matemáticas es practicar los ejercicios varias veces. Con el tiempo, cogerás confianza y verás que son mucho más sencillos de lo que pensabas en un primer momento.

SUMARIO

Ecuaciones de primer grado

Antes de estudiar las ecuaciones, es interesante que repases el tema 5 dedicado al lenguaje algebraico. Si ya estás familiarizado con él, te resultará más fácil resolver los ejercicios y problemas.

Vídeos en YouTube

En esta lista de vídeos, empezamos resolviendo ecuaciones desde las más sencillas a las más complicadas de 1º y 2º de ESO.

¿Dudas/sugenrecias?

info@leccionesdemates.com

01.

Igualdad, identidad y criterios de equivalencia entre ecuaciones.

02.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado.

03.

Problemas de ecuaciones.

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Ecuaciones de primer grado

Igualdad e identidad


Vamos a comenzar este tema definiendo los conceptos de igualdad, identidad y criterios de equivalencia entre ecuaciones

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Identidad numérica

Una igualdad numérica consiste en dos expresiones numéricas que tienen el mismo valor, aunque se escriban diferente:

2+2=62

Son expresiones numéricas escritas de diferente forma, pero que realmente tienen el mismo valor.

Las hemos usado mucho cada vez que dábamos un paso para ir resolviendo cálculos de números naturales, enteros o fracciones.

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Identidad algebraica

Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las variables de la expresión.

  • a·(b+c)=a·b+a·c
  • x+x=2x
  • (a+b)2=a2+2ab+b2

Estas igualdades anteriores son verdad siempre, independientemente de lo que valgan las letras (variables).

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Ecuación

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para algunos valores de las letras (llamadas incógnitas). Estos valores que sí cumplen la igualdad son son las soluciones de la ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los términos que la forman. En las ecuaciones de primer grado, la incógnita está elevada a la unidad.

 

Elementos de una ecuación

En este ejemplo podemos ver los dos miembros de una ecuación que está compuesta por 5 términos. La incógnita de esta ecuación es x.

Elementos de una ecuación

 

 

Prueba de una ecuación

  • Para comprobar que un número es la solución de una ecuación, podemos calcular el valor numérico de cada miembro y comprobar si son iguales. Ejemplo:

Compruba si 3 y -2 son las soluciones de la ecuación anterior:

a) Sustituimos la incógnita por su valor

x=3
32+3(3)2=5(3)+1
9+92 = 15+1
16=16

Por lo tanto, 3 sí es solución de la ecuación.

a) Sustituimos la incógnita por su valor

x=2

Por tanto, -2 no es solución de la ecuación.

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Existen dos reglas que nos permiten calcular ecuaciones equivalentes a una dada:

 

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Regla de la suma

Si sumamos o restamos una mismo número a los dos miembros de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

Ejemplo:

3x2= 7

Podemos sumar, por ejemplo, +2 en los dos miembros de la ecuación:

3x2+2=7+2
3x=9

Siendo

x=3

la solución de ambas ecuaciones.

Q

Regla del producto

Si multiplicamos o dividimos una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

3x=9

podemos dividir entre 3 para encontrar la solución

3x3=93
x=3

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

En esta sección, vamos a ver cinco pasos que nos permiten resolver una ecuación de primer grado de forma sistemática.

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Quitar paréntesis

El primer paso para resolver ecuaciones de primer grado consiste en eliminar los paréntesis que pueda tener. Vamos a ver varios casos:

Si delante hay una suma (+)

Entonces podemos quitar los paréntesis dejando los términos que haya dentro de la ecuación con el signo que tenían.

2x3+(6x+2)=10

quedaría:

2x36x+2=10

es decir, dejamos los términos de dentro de los paréntesis con el signo que tenían. El primer 2x, al ser el primero y no tener signo se entiende que es positivo.

Si delante hay una resta (-)

Entonces, podemos eliminar los paréntesis, pero tenemos que cambiar el signo de todos los términos que haya dentro del paréntesis.

Ejemplo:

3(x+3)(3x7)=20

Aplicando la propiedad distributiva quedaría:

3x9+4x14=20

quitamos los signos negativos de delante de cada paréntesis poniendo los opuestos de los términos que hay dentro:

3+x33x+7=20

Si delante o detrás hay una multiplicación (·)

Entonces, tendremos que aplicar la propiedad distributiva para eliminar dichos paréntesis y simplificar así la ecuación a la que nos estamos enfrentando.

Ejemplo:

3·(x3)2·(2x+7)=20

Aplicando la propiedad distributiva quedaría:

3x9+4x14=20

Puedes leer más sobre este tema y practicar con ejercicios resueltos de ecuaciones en esta entrada del blog.

Quitar denominadores

Como las operaciones con fracciones son más complicadas que con números enteros, nos interesa quitar las fracciones antes de continuar resolviendo nuestra ecuación. Para ello, te recomiendo hacer los siguientes pasos.

  1. Pon 1 de denominador a los términos que no sean fracciones.
  2. Pon entre paréntesis los numeradores que sean complejos (más de un término)
  3. Calcula el mcm de los denominadores de la ecuación.
  4. Multiplica la ecuación por dicho mcm.
  5. Simplifica todas las fracciones.

Es mucho más sencillo hacernos una idea si vemos un ejemplo resuelto paso a paso.

x1 3+ 1 = x+16 x3

Vamos a preparar la ecuación. Para ello, ponemos entre paréntesis los numeradores que tienen más de un término y convertiremos en fracciones los términos que no lo son:

x1 3+ 11=x+16 x3

Ahora calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

mcm(3,6)=6

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el mcm que hemos calculado. Esto es posible gracias a la regla del producto.

6·x1 3+ 11 =6· x+16 x3

Normalmente, el paso anterior nos los saltamos y aplicamos la distributiva directamente:

6·x1 3+ 6·11 = 6·x+16 6·x3

Por último, simplificamos las fracciones. Como 6 es múltiplo de 3 y de 6, las divisiones marcadas en rojo son exactas y se irán los denominadores:

6·x1 3+ 6·11 = 6·x+16 6·x3

Simplificando:

2·(x1)+6=(x+1)2x

Ya hemos conseguido nuestro objetivo: tenemos una ecuación equivalente a la dada, pero sin los molestos denominadores.

Simplificar términos semejantes

 Este punto es más sencillo que los dos anteriores. Vamos a buscar los términos que sean semejantes y vamos a simplificarlos.

Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal

Veamos un ejemplo:

2x2+6+4x=x+12

Agrupamos en cada miembro los términos semejantes del mismo color.

2x2+6+4x=x+12

Simplificamos los términos semejantes:

6x+4=x1

La ecuación que nos queda es equivalente a la primera, pero más sencilla. Este paso se puede realizar las veces que haga falta.

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Agrupar términos semejantes

Regla de la suma

Recuerda: la regla de la suma dice que si sumamos o restamos la misma expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera, es decir, tiene las mismas soluciones.

Lo que pretendemos es dejar en un lado de la ecuación todos los términos que tengan la incógnita (los que son de grado 1) y en el otro los que no tengan la incógnita (los términos independientes).

Para ello, vamos a ir sumando o restando los opuestos de los términos que queramos cambiar de lado (algunos lo llaman transposición de términos)

Ejemplo:

6x+4=x1

Vamos a intentar dejar los términos con la incógnita a la izquierda y los términos independientes (sin incógnita) a la derecha. Observamos y vemos que +4 está mal situado.

6x+4=x1

Para eliminarlo de ahí, restamos 4 en los dos miembros de la ecuación:

6x+44=x14

Y simplificamos los términos semejantes:

6x=x5

Ahora, nos damos cuenta de que en el miembro de la derecha está mal colocado el término x.

6x=x5

Para quitarlo de ahí, restamos su opuesto:

6xx=x5x

y, de nuevo, simplificamos términos semejantes.

5x=5

Despejar la incógnita

Regla del producto

Recuerda: la regla del producto dice que si dividimos o multiplicamos los dos miembros de una ecuación por una expresión algebraica distinta de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

En este último paso, pretendemos eliminar el coeficiente que puede acompañar a la incógnita. Vemos un ejemplo:

5x=5

donde queremos quitar el 5 que multiplica a la incógnita.

5x=5

Para ello, dividimos entre 5 gracias a la regla del producto.

5x5=55

Simplificamos las fracciones, llegamos al resultado final de la ecuación:

x=1

Problemas de ecuaciones de primer grado

El sentido último de aprender a resolver ecuaciones es que podamos solucionar problemas aplicando la potentísima herramienta potentísima que son las ecuaciones.

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Pasos para resolver un problema con ecuaciones

Paso 1:

Vamos a escribir los datos del problema y a identificar quién será la incógnita, es decir, el valor que resuelve el problema.

Paso 2:

Planteamos la ecuación, es decir, escribimos una ecuación que resuelve nuestro problema. Para ello, suele ser interesante escribir primero una igualdad escrita en un lenguaje medio matemático, medio español y, después, en un segundo momento, escribir una ecuación en lenguaje algebaico

Paso 3:

Resolvemos la ecuación que hemos planteado en el paso anterior.

Paso 4:

Comprobamos la solución del problema, ya que no siempre corresponde directamente con la solución de la ecuación.

Problemas de ecuaciones

Problemas resueltos de ecuaciones de primer grado.

Problemas Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Ejercicios resueltos de ecuaciones

En esta entrada, te recordamos los 3 últimos pasos del método para resolver ecuaciones de primer grado y puedes encontrar un vídeo y 6 ejemplos resueltos. Lo puedes descargar en PDF.

Regla de la suma y del producto

Ejercicios resueltos de ecuaciones

En esta entrada, directamente te ofrecemos 20 ejercicios resueltos paso a paso y otro PDF con más ejercicios basados en las dudas que los usuarios de YouTube nos han ido planteando desde el canal.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Ejercicios resueltos de ecuaciones de grado 1 con denominadores

 

Ejercicios resueltos de ecuaciones con denominadores

Estos ejercicios nos ayudarán a practicar el paso 2 dedicado a eliminar los denominadores de la ecuación.​

Los números enteros

LAS Fracciones

Potencias y raíces

El lenguaje algebraico

Apuntes de 1º ESO

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