Ecuaciones

1º de ESO - Tema 6
Temario de 1º de ESO

Ecuaciones

Las ecuaciones son uno de los conceptos matemáticas más utilizados por los estudiantes y también de los más buscados. Las ecuaciones nos permiten resolver multitud de problemas. Este año empezamos a estudiarlas y seguirás año a año adquiriendo más destreza hasta llegar a los estudios universitarios donde cobran todo sus explendor. Pero vayamos poco a poco. ¿Comenzamos?

Ejercicios resueltos

Te recomiendo que practiques con los ejercicios resueltos que te ofrezco en algunos de los apartados de este tema. Son enlaces a otras entradas, para poder organizar mejor el temario. La mejor matera de aprender Matemáticas es practicar los ejercicios varias veces. Con el tiempo, cogerás confianza y verás que son mucho más sencillos de lo que pensabas en un primer momento.

SUMARIO

Ecuaciones

Antes de estudiar las ecuaciones, es interesante que repases el tema 5 dedicado al lenguaje algebraico. Si ya estás familiarizado con él, te resultará más fácil resolver los ejercicios y problemas.

Vídeos en YouTube

En esta lista de vídeos, empezamos resolviendo ecuaciones desde las más sencillas a las más complicadas de 1º y 2º de ESO.

¿Dudas/sugenrecias?

info@leccionesdemates.com

01.

Igualdad, identidad y criterios de equivalencia entre ecuaciones.

02.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado.

03.

Problemas de ecuaciones.

d

Ecuaciones

Igualdad e identidad

Vamos a comenzar este tema definiendo los conceptos de igualdad, identidad y criterios de equivalencia entre ecuaciones

l

Identidad numérica

Una igualdad numérica consiste en dos expresiones numéricas que tienen el mismo valor, aunque se escriban diferente:

2+2=62

Son expresiones numéricas escritas de diferente forma, pero que realmente tienen el mismo valor.

Las hemos usado mucho cada vez que dábamos un paso para ir resolviendo cálculos de números naturales, enteros o fracciones.

l

Identidad algebraica

Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las variables de la expresión.

  • a·(b+c)=a·b+a·c
  • x+x=2x
  • (a+b)2=a2+2ab+b2

Estas igualdades anteriores son verdad siempre, independientemente de lo que valgan las letras (variables).

l

Ecuación

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solamente para algunos valores de las letras (llamadas incógnitas). Estos valores que sí cumplen la igualdad son son las soluciones de la ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los términos que la forman.

 

Elementos de una ecuación

En este ejemplo podemos ver los dos miembros de una ecuación que está compuesta por 5 términos. La incógnita de esta ecuación es x.

Elementos de una ecuación

 

 

Prueba de una ecuación

  • Para comprobar que un número es la solución de una ecuación, podemos calcular el valor numérico de cada miembro y comprobar si son iguales. Ejemplo:

Compruba si 3 y -2 son las soluciones de la ecuación anterior:

a) Sustituimos la incógnita por su valor

x=3
32+3(3)2=5(3)+1
9+92 = 15+1
16=16

Por lo tanto, 3 sí es solución de la ecuación.

a) Sustituimos la incógnita por su valor

x=2

Por tanto, -2 no es solución de la ecuación.

l

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Existen dos reglas que nos permiten calcular ecuaciones equivalentes a una dada:

 

P

Regla de la suma

Si sumamos o restamos una mismo número a los dos miembros de la ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

Ejemplo:

3x2= 7

Podemos sumar, por ejemplo, +2 en los dos miembros de la ecuación:

3x2+2=7+2
3x=9

Siendo

x=3

la solución de ambas ecuaciones.

 

 

Q

Regla del producto

Si multiplicamos o dividimos una ecuación por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

3x=9

podemos dividir entre 3 para encontrar la solución

3x3=93
x=3

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

En esta sección, vamos a ver cinco pasos que nos permiten 

Z

Quitar paréntesis

Los números naturales se utilizan para contar desde hace miles de años. Los romanos no utilizaban el cero, que fue introducido en Europa siglos después por los árabes proveniente de la cultura india. Los números naturales son \\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle \\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{N} = \\\\\\\\\\\\\\\\left \\\\\\\\\\\\\\\\{ 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... \\\\\\\\\\\\\\\\right \\\\\\\\\\\\\\\\}

Quitar denominadores

Es importante recordar que debemos realizar las operaciones siguiendo este orden:

  1. Primero las operaciones que haya dentro de paréntesis.
  2. Multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, de izquierda a derecha.
  3. SUmas

Propiedad conmutativa

Conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle a,b \\\\\\\\\\\\\\\\:  \\\\\\\\\\\\\\\\epsilon \\\\\\\\\\\\\\\\:  \\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{N}  \\\\\\\\\\\\\\\\Rightarrow a+b=b+a

Ejemplo:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle 5+8 = 8+5 = 13

Conmutativa del producto

El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle a,b \\\\\\\\\\\\\\\\:  \\\\\\\\\\\\\\\\epsilon \\\\\\\\\\\\\\\\:  \\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{N}  \\\\\\\\\\\\\\\\Rightarrow a \\\\\\\\\\\\\\\\cdot b=b \\\\\\\\\\\\\\\\cdot a

Ejemplo:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle 5 \\\\\\\\\\\\\\\\cdot 8 = 8 \\\\\\\\\\\\\\\\cdot 5 = 40

Propiedad asociativa

Conmutativa de la suma

Cuando hay dos o más sumas, el orden en que las resuelvo no altera el resultado total de la suma.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle a,b,c \\\\\\\\\\\\\\\\: \\\\\\\\\\\\\\\\epsilon \\\\\\\\\\\\\\\\: \\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{N} \\\\\\\\\\\\\\\\Rightarrow a+b+c=a+(b+c) = (a+b)+c = (a+c) + b

Ejemplo:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle (5+8) +7 = 5+(8+7) = 20

Asociativa del producto

Cuando hay dos o más multiplicaciones, el orden en que las realizo  no altera el resultado final de la multiplicación.

Si lo escribimos en lenguaje matemático:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle a,b,c \\\\\\\\\\\\\\\\: \\\\\\\\\\\\\\\\epsilon \\\\\\\\\\\\\\\\: \\\\\\\\\\\\\\\\mathbb{N} \\\\\\\\\\\\\\\\Rightarrow (a \\\\\\\\\\\\\\\\cdot b) \\\\\\\\\\\\\\\\cdot c = a \\\\\\\\\\\\\\\\cdot (b \\\\\\\\\\\\\\\\cdot c) =(a \\\\\\\\\\\\\\\\cdot c) \\\\\\\\\\\\\\\\cdot b

Ejemplo:

\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyle (5 \\\\\\\\\\\\\\\\cdot 8) \\\\\\\\\\\\\\\\cdot 3 = 5 \\\\\\\\\\\\\\\\cdot  (8 \\\\\\\\\\\\\\\\cdot 3) = 120

Problemas de ecuaciones de primer grado

Por último, veremos las propiedades de la división entera de números naturales, los conceptos de divisor-factor, divisible-múltiple, los criterios de divisibilidad, los números primos y compuestos. Por último, vamos a repasar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Divisor y factor

Divisor

A es divisor de B, si al dividor B entre A, la división es exacta (el resto es cero).

Por ejemplo, 4 es divisor de 20 porque 20:4 = 5 (resto igual a cero).

Factores

A y B son factores de C si A·B = C

Por ejemplo, 4 y 5 son factores de 20 porque 4·5 es 20.

Si A es divisor de B, entonces A también es factor de B.

 

Múltiplo y divisible

Múltiplo

A es múltiplo de B si al multiplicar B por un número natural concreto se obtiene A.

Por ejemplo, 30 es múltiplo de 5 porque 5·6 = 30

Divisible

Diremos que A es divisible entre B si la división de A entre B es exacta.

Ejemplo: 36 es divisible entre 3 porque 36:3=12

y

Números primos y compuestos

Un número es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

El número 29 sólo es divisible entre 1 y entre 29, por tanto, es primo.

El número 30 tiene muchos divisores: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, por tanto, es compuesto.

 

Criterios de divisibilidad

Para saber si un número es divisible entre otro, debemos hacer la división y ver si es exacta o no. Como este proceso es realmente lento, ponemos utilizar una serie de criterios que nos permiten saber con anterioridad si la división es exacta o no. Aplicando estos criterios, vamos a ahorrar bastante tiempo:

Criterio de divisibilidad del 2

Un número es divisible entre dos si es par, es decir, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 1234 es divisible entre 2 porque es par.

Criterio de divisibilidad del 3

Si al sumar todas las cifras de un número, obtenemos un múltiplo de 3, entonces, el número original es divisible entre 3. Por ejemplo, el número 123 es divisible entre 3 porque al sumar todas sus cifra (1+2+3 = 6) obtenemos un múltiplo de 3.

Criterio de divisibilidad del 5

Un número es divisible entre 5 si su última cifra es cero o cinco. Por ejemplo, 1225 es divisible entre 5 porque acaba en 5.

Criterio de divisibilidad del 7

Para saber si un número es divisible entre 7, separamos la última cifra del número y la multiplicamos por 2. Dicha cantidad se la restamos al resto del número. Si obtenemos un múltiplo de 7 o el cero, el número original será divisible entre 7 también.

Por ejemplo, 294 es divisible entre 7 porque:

  1. Separamos 29 y 4.
  2. Multiplicamos 4 por 2 y obtenemos 8.
  3. A 29 le restamos 8 y obtenemos 21.
  4. Como 21 es múltiplo de 7, 294 es divisible entre 7.
Criterio de divisibilidad del 11

Para saber si un número es divisible entre 11 hacemos los siguiente:

  1. Sumamos entre sí las cifras que se encuentran en posición impar dentro del número y, por otro lado, sumamos las cifras en posición par.
  2. Restamos las dos cantidades.
  3. Si obtenemos cero o un múltiplo de 11, el número original será divisible entre 11. 

Por ejmplo, vamos a comprobar si 1848 es divisible entre 11:

Posición 1: 8

Posición 2: 4

Posición 3: 8

Posición 4: 1

Sumamos las cifras en las posiciones 1 y 3 (posiciones impares) 8+8=16

Sumamos las cifras en las posiciones 2 y 4 (posiciones pares) 4+1=5

Restamos al mayor la menor cantidad: 16-5=11

Como 11 es múltiplo de 11, entonces, podemos afirmar que 1848 es divisible entre 11.

Otros criterios de divisibilidad

Menos importantes, aunque pueden ser de utilidad, son los siguientes criterios de divisibilidad:

  •  Un número es divisible entre 10 si acaba en cero.
  • Un número es divisible entre 100 si acabas en dos ceros.
  • Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras son múltiplos de 4.
  • Un número es divisible entre 25 si acaba en 00, 25, 50 o 75.

Descomposición en factores primos

Consiste en escribir un número como el resultado de la multiplicación de una serie de números primos. La descomposición en factores primos de un número es única.

Para ello, vamos a ir dividiendo el número original entre los números primos conocidos.

Máximo común divisor

El máximo común divisor de varios números es un número natural que es el divisor más grande de todos ellos a la vez.

El algoritmo para calcular el MCD es el siguiente:

  • Factorizamos todos los números como producto de números primos.
  • Multiplicamos los factores comunes a todos ellos elevados a su menor exponente.

Ejemplo:

Aquí puedes encontrar más ejercicios resueltos y problemas de máximo común divisor:

Problemas de MCD - Ejercicios resueltos Matemáticas Ejercicios MCD resueltos factorizando los números - Matemáticas - LeccionesDeMates

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de varios números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez.

El algoritmo para calcular el mcm es el siguiente:

  • Factorizamos todos los números como producto de números primos.
  • Multiplicamos los factores comunes a todos ellos elevados a su mayor exponente y también los factores no comunes elevados también a su mayor exponente.

Ejemplo:

Aquí puedes encontrar más ejercicios resueltos y problemas de máximo común divisor:

Ejercicios resueltos de mcm mínimo común múltiplo Planteas alineados - Problemas mcm - Matemáticas

Los números enteros

LAS Fracciones

Potencias y raíces

El lenguaje algebraico

Apuntes de 1º ESO

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