Proporciones y porcentajes

1º de ESO - Tema 7
Temario de 1º de ESO

Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación constante entre dos magnitudes. Entendemos que una magnitud es cualquier cosa que se puede medir o contar. Esta relación se puede representar mediante una razón.

Porcentajes

El porcentaje o “tanto por ciento” es uno de los conceptos más utilizados de las Matemáticas en el contexto del mundo real. Se utiliza para establecer una relación en la que nos referimos a “tantos de cada 100”. Nos lo encontraremos en las rebajas, en los incrementos, índices de consumo y otras tantas referencias utilizadas habitualmente.
SUMARIO

Proporciones y porcentajes

El tema de proporciones y porcentajes está muy relacionado con las fracciones y con las funciones.

Vídeos en YouTube

En esta lista de vídeos, te ofrecemos todas las clases que tengo grabadas sobre proporciones y porcentajes.

¿Dudas/sugenrecias?

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01.

Razón y proporciones.

02.

Magnitudes directamente proporcionales.

03.

Porcentajes y variaciones porcentuales.

d

Proporciones y porcentajes

Razón y proporciones

Vamos a comenzar este tema con los conceptos de razón numérica y proporción, así como estableciendo la regla que nos permite comprobar si una proporción está bien formada.

l

Razón

Una razón es una relación entre dos magnitudes que se puede expresar:

  • en forma de división a:b
  • como fracción
    \frac{a}{b}

y que se lee “a es a b

Por ejemplo, cuando hablamos de pantallas de televisión, podemos decir que la razón entre su ancho y su alto es 16:9 de forma que indicamos que por cada 16 cm de ancho, la televisión tendrá 9 cm de alto.

 

l

Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones. Por ejemplo,

\frac{16}{9}=\frac{200}{112,5}

Indica que en una pantalla de relación 16:9 si el ancho es de 200 cm, el alto debería ser de 112,5 cm para conservar la relación de aspecto correctamente.

En una proporción

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

encontramos 4 términos: a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. Esto es así porque al leer la proporción “a es a b como c es a d”, los términos a y d están en los extremos de la frase y los términos b y c están en medio.

 

 

l

Propiedad fundamental de las proporciones

Para comprobar si dos razones forman una proporción utilizamos la propiedad fundamental de las proporciones.

Si dos razones forman una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Si en una proporción conocemos tres de los cuatro términos podemos calcular el cuarto aplicando la propiedad anterior.

 

Ejemplo 1

Comprueba siforman una proporción. 

Como la igualdad es cierta, las dos razones sí forman una proporción.

Ejemplo 2

Luego no forman una proporción.

Magnitudes directamente proporcionales

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede pesar, medir, contar… .

Z

Definición

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando los cocientes de las cantidades correspondientes son constantes:

Número entradas cine

1

2

3

Precio

6€

12€

18€

 donde r es la razón de proporcionalidad o constante de proporcionalidad.

Los problemas de proporcionalidad directa se pueden resolver mediante la proporciones, reducción a la unidad o la regla de tres simple.

Proporciones

En una receta de un bizcocho, hay que echar 2 huevos para cada 5 personas. ¿Cuántos huevos serán necesarios para hacer un bizcocho para 8 personas?

Planteamos la proporción con los 3 términos que conocemos y aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones para obtener el término que nos falta:

\frac{2}{5}=\frac{x}{8}

Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

2\cdot 8=5\cdot x

Simplificamos

5x=16

y despejamos:

x=\frac{16}{5}=3,2

K

Reducción a la unidad

En una receta de un bizcocho, hay que echar 2 huevos para cada 5 personas. ¿Cuántos huevos serán necesarios para hacer un bizcocho para 8 personas?

Veremos primero cuántos huevos son necesarios para 1 persona (reducción a la unidad).

\frac{2}{5}=0,4 huevos por persona.

Luego, multiplicamos por el número de personas:

0,4\cdot 8=3,2 huevos

c

Regla de tres directa simple

Colocamos los términos conocidos según el esquema de las regla de tres:

Regla de tres

Huevos

Personas

2

5

x

8

x=\frac{2\cdot 8}{5}=\frac{16}{5}=3,2

Repartos directamente proporcionales

Para repartir una cantidad N de forma directamente proporcional a a, b, c, .. se realizan los siguientes pasos:

  1. Se calcula la razón de proporcionalidad:
    r=\frac{N}{a+b+c+...}   
    donde N es la cantidad a repartir.
  2. Se multiplica cada parte a, b, c, … , por r.
Ejemplo

David, Emma y Fran compran 10 móviles con un descuento por cantidad. Para beneficiarse del descuento, deciden comprar juntos, pero pagar de forma proporcional al número de móviles que cada uno se lleva. Si David se llevó 5, Emma 3 y Fran 2, ¿qué tiene que pagar cada uno si el pedido costó 3000€?

El reparto debe hacerse de forma directamente proporcional a la cantidad de móviles que cada uno se quedó:

r=\frac{3000}{5+3+2}=\frac{3000}{10}=300

  • David debe pagar
    5r=5\cdot 300=1500\euro 
  • Emma debe pagar:
    3r=3\cdot 300=900\euro
  • Fran:
    2r=2\cdot 300=600\euro

Comprobamos que 1500 + 900 + 300 = 3000 € de coste total del pedido.

Porcentajes

Los porcentajes expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e indican la cantidad que corresponde a una de ellas cuando la otra es exactamente 100.

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Definición y formas de representación

Los porcentajes expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e indican la cantidad que corresponde a una de ellas cuando la otra es exactamente 100.

Esta relación se puede expresar de tres formas equivalentes:

Porcentaje

Fracción

Decimal

20%

\frac{20}{100}=\frac{1}{5}

0.20

 

e

Porcentajes y proporciones

Conociendo dos valores entre el porcentaje, el total y la parte representada, se puede calcular el tercero de ellos estableciendo una proporción.

Ejemplo 1: Calcular el porcentaje de una cantidad total.

Un ordenador que tiene un precio de 556 € está rebajado un 15 %. ¿Cuántos euros tiene de descuento?

Aplicamos la proporción:

\frac{15}{100}=\frac{x}{556}\Rightarrow x=\frac{15\cdot 556}{100}=83,40\euro

Ejemplo 2: Calcular la cantidad total, dada la cantidad que representa el porcentaje

Quedan 8 entradas sin vender para asistir a una conferencia. Si representan el 16 %, entradas había en total?

Aplicamos la proporción:

\frac{16}{100}=\frac{8}{x}\Rightarrow x=\frac{8\cdot 100}{16}=50

En total, había 50 entradas porque el 16% de 50 es 8.

Ejemplo 3: Calcular el porcentaje que representa una cantidad respecto del total

En una clase, el 18 alumnos han obtenido sobresaliente de los 40 que forman el grupo. ¿Qué porcentaje de alumnos ha obtenido un sobresaliente?

Aplicamos la proporción:

\frac{x}{100}=\frac{18}{40}\Rightarrow x=\frac{18\cdot 100}{40}=45%

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Aumentos y disminuciones porcentuales

Para hallar la cantidad final de otra a la que se le aplica un porcentaje p de aumento o disminución, multiplicamos la cantidad inicial por el llamado índice de variación:

Índice de variación de aumento

Índice de variación de disminución

IV=\left ( 1+\frac{p}{100} \right )

IV=\left ( 1-\frac{p}{100} \right )

Ejemplo 1: disminución porcentual

Calcula el precio final de una camiseta de 35€ que tiene un descuento del 15%

P_{final}=P_{inicial}\cdot IV

donde, al ser un descuento, el lo calculamos como

IV=\left ( 1-\frac{p}{100} \right )=1-\frac{15}{100}=1-0,15=0,85

Y calculamos el precio final:

P_{final}=35\cdot 0,85={\color{Red} 29,75\euro}

Ejemplo 2: incremento o aumento porcentual

El precio del alquiler ha subido un 2% este año. Si pagábamos 560€, ¿cuál será el nuevo precio del alquiler?

P_{final}=P_{inicial}\cdot IV

donde, al ser un aumento, el índice de variación lo calculamos como

IV=\left ( 1+\frac{p}{100} \right )=1+\frac{2}{100}=1+0,02=1,02

Y calculamos el precio final:

P_{final}=560\cdot 1,02={\color{Red} 571,20\euro}

Porcentajes encadenados

Para aplicar sobre una misma cantidad dos o más porcentajes encadenados, se calculan los índices de variación y se aplican sucesivamente.

IV_{Total}=IV_{1}\cdot IV_{2}\cdot IV_{3}\cdot ...

Ejemplo 1:

Calcula el porcentaje total de subida si en enero el precio sube un 10% y en febrero un 20%. ¿Será una subida del 30%?

Calculamos el índice de variación del primer incremento

IV_{1}=\left (1+\frac{10}{100} \right )=1+0,10=1,10

Y, después, el del segundo incremento

IV_{2}=\left ( 1+\frac{20}{100} \right )=1+0,20=1,20

El índice de variación combinado o total será el producto de los dos:

IV_{Total}=IV_{1}\cdot IV_{2}=1,1\cdot 1,2=1,32

Esto implica que lo que antes valía 1, ahora vale 1,32. Si lo pasamos a porcentaje, el 100% ahora es el 132% por lo que la subida es 132% – 100% = +32% (el signo + se usa para expresar que es una subida porcentual)

Para que hubiera sido un aumento del 30%, IV total debería haber sido de 1,32

Ejemplo 2:

Calcula el porcentaje total de subida o bajada si en enero el precio sube un 10% y en febrero baja un 20%. ¿Será una bajada del 10% en total?

Calculamos el índice de variación del primer incremento

IV_{1}=\left ( 1+\frac{10}{100} \right )=1+0,10=1,10

Y, después, el del segundo decremento

IV_{2}=\left ( 1-\frac{20}{100} \right )=1-0,20=0,80

El índice de variación combinado o total será el producto de los dos:

IV_{Total}=IV_{1}\cdot IV_{2}=1,1\cdot 0,80=0,88

Esto implica que lo que antes valía 1, ahora vale 0,88. Si lo pasamos a porcentaje, el 100% ahora es el 88% por lo que el precio ha experimentado un decremento. La bajada es 100% – 88% = -12% (aquí el signo menos lo usamos para indicar que es una bajada porcentual, no que sea un número negativo).

Ten en cuenta que no se pueden sumar y restar los porcentajes porque no se calculan sobre la misma cantidad. El 21 % no se aplica al precio inicial, sino al rebajado.

Vídeos de la unidad

Lista actualizada con todos los vídeos de este temas de “Proporciones y porcentajes” de 1º de ESO 

Potencias y raíces

LAS Fracciones

El lenguaje algebraico

Ecuaciones

Apuntes de 1º ESO

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