Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los conceptos Matemáticos más famosos y útiles en Geometría. En esta entrada, veremos qué es y para qué sirve. Si lo que te interesan con los ejercicios resueltos puedes saltarte la introducción al tema.

¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras se formula de la siguiente manera:

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada cateto.

Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto (de 90 grados).

Elementos de un triángulo rectángulo

La siguiente figura muestra los elementos de un triángulo rectángulo:

Hipotenusa y catetos como elementos de un triángulo rectángulo - Teorema de Pitágoras

  • El segmento AC se llama hipotenusa. Es el más largo y siempre está frente al ángulo recto.
  • El segmento AC es el cateto mayor.
  • El segmento AB se llama cateto menor.




Representación geométrica del teorema de Pitágoras

Al representar geométricamente el teorema de Pitágoras podemos percibir mejor la relación existente entre la hipotenusa y los catetos.

Teorema de Pitágoras - Demostración geométrica

En color naranja, he dibujado el área de un cuadrado cuyo lado coincide con la hipotenusa. En el ejemplo, la hipotenusa vale 5, por tanto, el área es 25.

Podemos hacer lo mismo con los catetos. Dibujamos un cuadrado cuyo lado es el cateto mayor en color rojo (segmento BC, que mide 4) y otro cuadrado, cuyo lado es el cateto menor, en color verde (segmento AB, que mide 3).

Si te fijas, se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados rojo y verde es 25 (16+9 es 25):

Por tanto, el área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (naranja) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados que se forman con la longitud de los catetos (verde y rojo).


¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras lo usaremos muchísimo en el ámbito de tus estudios de Geometría. En especial, para calcular medidas indirectas, es decir, medidas dentro de un problema de Matemática que te hacen falta para obtener la solución, pero que no te han dado en el enunciado. Más adelante veremos algunos ejemplos.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Además, como el teorema de Pitágoras sólo se cumple en los triángulos rectángulos, podemos usarlo para averiguar si un triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo.

¿Cómo?

Si conocemos la longitud de los tres lados del triángulo, podemos realizar la igualdad de Pitágoras y clasificar los triángulos según estos criterios:

  • Será un triángulo rectángulo si cumple el teorema de Pitágoras.
  • Si se trata de un triángulo obtusángulo (que tiene un ángulo de más de 90 grados).

Ilustración 1: triángulo obtusángulo

Teorema de Pitágoras - triángulo obtusángulo

  • Si se trata de un triángulo acutángulo(sus tres ángulos son mejores de 90º).

Ilustración 2: Triángulo acutángulo

‘Teorema de Pitágoras - triángulo acutángulo

 

Calcular medidas indirectas con el teorema de Pitágoras

En muchos ejercicios de Geometría, te encontrarás que te faltan datos para poder hayar las soluciones. Muchas veces, podrás utlizar el teorema de Pitágoras para calcular medidas indirectas que no te han dado en el enunciado del problema, pero sí puedes calcular usando otros datos del problema.

En esta sección, te dejo varios ejercicios resueltos y vídeos para que te puedas hacer una idea y puedas practicar.

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras

Medidas indirectas mediante Pitágoras

Ejercicio resuelto 1. Calcula la diagonal de un cuadrado.

En el siguiente vídeo, te resumimos toda la teoría de este tema y, además, a partir del menuto 3:55 calculamos la diagonal de una ventana con forma de cuadrado cuyo lado mide 8

Ejercicio resuelto 2: calcula la apotema de un hexágono regular mediante el teorema de Pitágoras

En este problema, vamos a calcular la longitud de la apotema de un hexágono regular utilizando el teorema de Pitágoras y el hecho de que en los hexágonos regulares, el lado del polígono coincide con la longitud del radio.

En el vídeo, calcularemos la apotema de en hexágono regular cuyo lado mide 6 cm.

Ejercicio resuelto 3: calcula la altura y el área de un triángulo equilátero dada la longitud de su lado mediante el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo equilátero o isósceles podemos calcular su altura si conocemos la longitud del lado. una vez que tenemos la altura podremos calcular su área. En el vídeo, calcularemos el área de un triángulo equilátero de lado 8.

 

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras en PDF

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